Determinantul matricelor este adesea utilizat în calcul, algebră liniară și geometrie la un nivel superior. În afara mediului academic, inginerii și programatorii de grafică pe computer folosesc matrice și factorii determinanți ai acestora tot timpul. Dacă știți deja cum să determinați determinantul unei matrice de ordinul 2x2, trebuie doar să aflați când să utilizați adunarea, scăderea și timpii pentru a determina determinantul unei matrice de ordinul 3x3.
Etapa
Partea 1 din 2: Determinarea factorilor determinanți
Scrieți matricea de ordine 3 x 3. Vom începe cu o matrice A de ordinul 3x3 și vom încerca să găsim determinantul | A |. Mai jos este forma generală a notației matriciale pe care o vom folosi și un exemplu al matricei noastre:
| A11 | A12 | A13 | 1 | 5 | 3 | |||
| M | = | A21 | A22 | A23 | = | 2 | 4 | 7 |
| A31 | A32 | A33 | 4 | 6 | 2 |
Pasul 1. Selectați un rând sau o coloană
Faceți selecția rândul sau coloana de referință. Indiferent de ce alegeți, veți primi în continuare același răspuns. Selectați temporar primul rând. Vă vom oferi câteva sugestii pentru a alege opțiunea cea mai ușor de calculat în secțiunea următoare.
Selectați primul rând al matricei eșantionului A. Încercuiți numărul 1 5 3. În notație comună, înconjurați un cerc11 A12 A13.
Pasul 2. Tăiați rândul și coloana primului element
Uită-te la rândul sau coloana pe care ai încercuit-o și selectează primul element. Tăiați rândurile și coloanele. Vor rămâne doar 4 numere neatinse. Faceți din aceste 4 numere o matrice de ordine 2 x 2.
- În exemplul nostru, rândul nostru de referință este 1 5 3. Primul element este în primul rând și prima coloană. Tăiați întregul rând și prima coloană. Scrieți elementele rămase într-o matrice 2 x 2:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
Pasul 3. Determinați determinantul matricei de ordine 2 x 2
Amintiți-vă, determinați determinantul matricei [Ac bd] de ad - bc. Este posibil să fi învățat, de asemenea, să determinați determinantul unei matrice desenând un X între o matrice de 2 x 2. Înmulțiți cele două numere conectate prin linia / lui X. Apoi, scădeți de câte ori cele două numere conectate prin linie / sunt. Folosiți această formulă pentru a calcula determinantul unei matrice 2 x 2.
- În exemplu, determinantul matricei [46 72] = 4*2 - 7*6 = - 34.
- Acest determinant se numește minor dintre elementele pe care le-ați selectat în matricea inițială. În acest caz, tocmai am găsit minorul unui11.
Pasul 4. Înmulțiți numărul găsit cu elementul pe care l-ați selectat
Amintiți-vă, ați selectat elemente din rândul (sau coloana) de referință când ați decis ce rânduri și coloane să eliminați. Înmulțiți acest element cu determinantul matricei 2 x 2 pe care ați găsit-o.
În exemplu, alegem un11 care este 1. Înmulțiți acest număr cu -34 (determinantul matricei 2 x 2) pentru a obține 1 * -34 = - 34.
Pasul 5. Determinați simbolul răspunsului dvs
Următorul pas este că trebuie să multiplicați răspunsul cu 1 sau -1 pentru a obține cofactor a elementului pe care l-ați selectat. Simbolul pe care îl utilizați depinde de locul în care sunt elementele din matricea 3 x 3. Nu uitați, acest tabel de simboluri este utilizat pentru a determina multiplicatorul elementului dvs.:
- + - +
- - + -
- + - +
- Pentru că alegem un11 care este marcat cu +, vom înmulți numărul cu +1 (sau cu alte cuvinte, nu-l modificați). Răspunsul care apare va fi același, și anume - 34.
- O altă modalitate de a defini un simbol este utilizarea formulei (-1) i + j unde i și j sunt elemente de rând și coloană.
Pasul 6. Repetați acest proces pentru al doilea element din rândul sau coloana de referință
Reveniți la matricea originală 3 x 3 în care ați încercuit rândul sau coloana anterior. Repetați același proces cu elementul:
-
Tăiați rândul și coloana elementului.
În acest caz, selectați elementul a12 (care valorează 5). Tăiați primul rând (1 5 3) și a doua coloană (5 4 6).
-
Transformați elementele rămase într-o matrice 2x2.
În exemplul nostru, matricea de ordine 2x2 pentru al doilea element este [24 72].
-
Determinați determinantul acestei matrice 2x2.
Folosiți formula ad - bc. (2 * 2 - 7 * 4 = -24)
-
Înmulțiți-vă cu elementele matricei 3x3 alese.
-24 * 5 = -120
-
Decideți dacă înmulțiți rezultatul de mai sus cu -1 sau nu.
Utilizați un tabel de simboluri sau formule (-1)ij. Selectați elementul a12 simbolizat - în tabelul de simboluri. Înlocuiți simbolul nostru de răspuns cu: (-1) * (- 120) = 120.
Pasul 7. Repetați același proces pentru al treilea element
Mai aveți un cofactor pentru a determina determinantul. Numărați i pentru al treilea element din rândul sau coloana de referință. Iată o modalitate rapidă de a calcula cofactorul a13 în exemplul nostru:
- Tăiați primul rând și a treia coloană pentru a obține [24 46].
- Determinantul este 2 * 6 - 4 * 4 = -4.
- Înmulțiți cu elementul a13: -4 * 3 = -12.
- Elementul a13 simbol + în tabelul de simboluri, deci răspunsul este - 12.
Pasul 8. Adăugați rezultatele celor trei numărări
Acesta este ultimul pas. Ați calculat trei cofactori, unul pentru fiecare element dintr-un rând sau coloană. Adăugați aceste rezultate și veți găsi determinantul unei matrice 3 x 3.
În exemplu, determinantul matricei este - 34 + 120 + - 12 = 74.
Partea 2 din 2: Facilitarea rezolvării problemelor
Pasul 1. Selectați rândul sau coloana de referințe care au cele mai multe 0
Amintiți-vă, puteți selecta orice rând sau coloană doriți. Indiferent de ce alegeți, răspunsul va fi același. Dacă selectați un rând sau o coloană cu numărul 0, trebuie doar să calculați cofactorul cu elemente care nu sunt 0 deoarece:
- De exemplu, selectați al doilea rând care are elementul a21, A22, fond23. Pentru a rezolva această problemă, vom folosi 3 matrici diferite 2 x 2, să spunem A21, A22, Tu23.
- Determinantul matricei 3x3 este a21| A21| - A22| A22| + a23| A23|.
- În cazul în care o22 fond23 valoarea 0, formula existentă va fi a21| A21| - 0 * | A22| + 0 * | A23| = a21| A21| - 0 + 0 = a21| A21|. Prin urmare, vom calcula numai cofactorul unui singur element.
Pasul 2. Folosiți rânduri suplimentare pentru a ușura problemele matricei
Dacă luați valorile dintr-un rând și le adăugați la alt rând, determinantul matricei nu se va schimba. Același lucru este valabil și pentru coloane. Puteți face acest lucru în mod repetat sau înmulțiți cu o constantă înainte de a o adăuga pentru a obține cât mai multe 0 în matrice. Acest lucru poate economisi mult timp.
- De exemplu, aveți o matrice cu 3 rânduri: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
- Pentru a elimina numărul 9 care se află în poziția a11, puteți înmulți valoarea din al doilea rând cu -3 și puteți adăuga rezultatul la primul rând. Acum, noua primă linie este [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- Noua matrice are rânduri [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Folosiți același truc pe coloane pentru a crea un12 fie numărul 0.
Pasul 3. Folosiți metoda rapidă pentru matrici triunghiulare
În acest caz special, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală, a11 în partea stângă sus la a33 în dreapta jos a matricei. Această matrice este încă o matrice 3x3, dar matricea „triunghi” are un model special de numere care nu sunt 0:
- Matricea triunghiulară superioară: toate elementele care nu sunt 0 se află pe diagonala principală sau deasupra acesteia. Toate numerele de sub diagonala principală sunt 0.
- Matricea triunghiulară inferioară: toate elementele care nu sunt 0 se află pe diagonala principală sau sub ea.
- Matricea diagonală: Toate elementele care nu sunt 0 se află pe diagonala principală (subsetul tipurilor de matrice de mai sus).
sfaturi
- Dacă toate elementele dintr-un rând sau coloană sunt 0, determinantul matricei este 0.
- Această metodă poate fi utilizată pentru toate dimensiunile matricelor pătratice. De exemplu, dacă utilizați această metodă pentru o matrice de ordinul 4x4, „lovitura” dvs. va lăsa o matrice de ordinul 3x3 al cărei determinant poate fi determinat urmând pașii de mai sus. Amintiți-vă, a face acest lucru poate fi plictisitor!
