Cum se simplifică ecuațiile matematice: 13 pași

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-01-15 08:22

Elevii de matematică sunt deseori rugați să își scrie răspunsurile în forma lor cea mai simplă - cu alte cuvinte, să scrie răspunsurile cât mai elegant posibil. Deși ecuațiile lungi, rigide și scurte, precum și elegante, sunt din punct de vedere tehnic același lucru, adesea, o problemă matematică nu este considerată completă dacă răspunsul final nu este redus la forma sa cea mai simplă. De asemenea, răspunsul în forma sa cea mai simplă este aproape întotdeauna cea mai ușoară ecuație cu care se poate lucra. Din acest motiv, învățarea simplificării ecuațiilor este o abilitate importantă pentru matematicieni.

Etapa

Metoda 1 din 2: Utilizarea secvenței de operație

Pasul 1. Cunoaște ordinea operațiilor

Când simplificați expresiile matematice, nu puteți lucra doar de la stânga la dreapta, înmulțind, adăugând, scăzând și așa mai departe, în ordine de la stânga la dreapta. Unele operații matematice trebuie să aibă prioritate față de altele și să se facă mai întâi. De fapt, folosirea unei ordini greșite a operațiilor poate da un răspuns greșit. Ordinea operațiilor este: partea dintre paranteze, exponentul, înmulțirea, împărțirea, adunarea și, în final, scăderea. Un acronim pe care îl poți aminti este Pentru că mama nu este bună, rea și săracă.

Rețineți că, deși o cunoaștere de bază a ordinii operațiilor poate simplifica cele mai elementare ecuații, sunt necesare tehnici speciale pentru a simplifica multe ecuații variabile, inclusiv aproape toate polinoamele. Consultați următoarea a doua metodă pentru mai multe informații

Pasul 2. Începeți completând toate secțiunile din paranteze

În matematică, parantezele indică faptul că partea interioară trebuie calculată separat de expresia care se află în afara parantezelor. Indiferent de operațiunile din interiorul parantezelor, asigurați-vă că completați mai întâi partea din paranteze atunci când încercați să simplificați o ecuație. De exemplu, între paranteze, trebuie să vă înmulțiți înainte de a adăuga, scădea și așa mai departe.

• De exemplu, să încercăm să simplificăm ecuația 2x + 4 (5 + 2) + 3² - (3 + 4/2). În această ecuație, trebuie să rezolvăm mai întâi partea din paranteze, și anume 5 + 2 și 3 + 4/2. 5 + 2 =

  Pasul 7.. 3 + 4/2 = 3 + 2

  Pasul 5

  Partea din a doua paranteză este simplificată la 5, deoarece conform ordinii operațiilor, împărțim mai întâi 4/2 între paranteze. Dacă lucrăm doar de la stânga la dreapta, adăugăm mai întâi 3 și 4, apoi împărțim la 2, dând răspunsul greșit 7/2

• Notă - dacă există mai multe paranteze între paranteze, completați secțiunea din paranteză, apoi a doua cea mai interioară și așa mai departe.

Pasul 3. Rezolvați exponentul

După completarea parantezelor, apoi rezolvați exponentul ecuației dvs. Acest lucru este ușor de reținut, deoarece în exponenți, numărul de bază și puterea puterii sunt una lângă alta. Găsiți răspunsul la fiecare parte a exponentului, apoi conectați răspunsul la ecuație pentru a înlocui partea exponentului.

După completarea părții dintre paranteze, ecuația noastră de exemplu devine acum 2x + 4 (7) + 3² - 5. Singurul exponențial din exemplul nostru este 3², care este egal cu 9. Adăugați acest rezultat la ecuația dvs. pentru a înlocui 3² rezultând 2x + 4 (7) + 9 - 5.

Pasul 4. Rezolvați problema înmulțirii din ecuația dvs

Apoi, faceți orice multiplicare este necesară în ecuația dvs. Amintiți-vă că multiplicarea poate fi scrisă în mai multe moduri. Simbolul × punct sau asterisc este un mod de a arăta multiplicarea. Cu toate acestea, un număr lângă paranteze sau o variabilă (cum ar fi 4 (x)) reprezintă, de asemenea, o multiplicare.

• Există două părți ale multiplicării în problema noastră: 2x (2x este 2 × x) și 4 (7). Nu știm valoarea lui x, așa că o lăsăm la 2x. 4 (7) = 4 × 7 =

  Pasul 28.. Putem rescrie ecuația noastră pentru a fi 2x + 28 + 9 - 5.

Pasul 5. Continuați cu divizarea

Când căutați probleme de divizare în ecuațiile dvs., rețineți că, la fel ca înmulțirea, diviziunea poate fi scrisă în mai multe moduri. Unul dintre acestea este simbolul, dar rețineți că barele și liniuțele, cum ar fi în fracții (de exemplu, 3/4) indică, de asemenea, diviziune.

Pentru că am făcut deja împărțirea (4/2) când am terminat părțile între paranteze. Exemplul nostru nu are deja o problemă de divizare, așa că vom ignora acest pas. Acest lucru arată un punct important - nu trebuie să efectuați toate operațiunile atunci când simplificați o expresie, ci doar operațiile conținute în problema dvs

Pasul 6. Apoi, adăugați orice este în ecuația dvs

Puteți lucra de la stânga la dreapta, dar este mai ușor să adăugați mai întâi numerele ușor de adăugat. De exemplu, în problema 49 + 29 + 51 + 71, este mai ușor să adăugați 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 și 100 + 100 = 200, decât 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 și 129 + 71 = 200.

Ecuația noastră de exemplu a fost parțial simplificată la 2x + 28 + 9 - 5. Acum, trebuie să adunăm numerele pe care le putem adăuga - să analizăm fiecare problemă de adunare de la stânga la dreapta. Nu putem adăuga 2x și 28 pentru că nu cunoaștem valoarea lui x, așa că o vom omite. 28 + 9 = 37, poate fi rescris ca 2x + 37 - 5.

Pasul 7. Ultimul pas al secvenței de operații este scăderea

Continuați-vă problema rezolvând problemele de scădere rămase. S-ar putea să vă gândiți la scădere ca adunând numere negative în acest pas sau folosind aceiași pași ca pentru o problemă de adunare obișnuită - alegerea dvs. nu vă va afecta răspunsul.

• În problema noastră, 2x + 37 - 5, există o singură problemă de scădere. 37 - 5 =

  Pasul 32.

Pasul 8. Verificați ecuația

După rezolvarea utilizând ordinea operațiilor, ecuația dvs. ar trebui simplificată la cea mai simplă formă. Cu toate acestea, dacă ecuația dvs. conține una sau mai multe variabile, înțelegeți că variabilele dvs. nu trebuie să fie lucrate. Pentru a simplifica o variabilă, trebuie fie să găsiți valoarea variabilei dvs., fie să utilizați tehnici speciale pentru a simplifica expresia (vedeți pasul de mai jos).

Răspunsul nostru final este 2x + 32. Nu putem rezolva această adăugare finală decât dacă știm valoarea lui x, dar dacă am ști valoarea acesteia, această ecuație ar fi mult mai ușor de rezolvat decât lunga noastră ecuație originală

Metoda 2 din 2: Simplificarea ecuațiilor complexe

Pasul 1. Adăugați părțile care au aceeași variabilă

Când rezolvați ecuații variabile, amintiți-vă că părțile care au aceeași variabilă și exponent (sau aceeași variabilă) pot fi adăugate și scăzute ca numerele normale. Această parte trebuie să aibă aceeași variabilă și exponent. De exemplu, se pot adăuga 7x și 5x, dar 7x și 5x² nu poate fi adăugat.

• Această regulă se aplică și unor variabile. De exemplu, 2xy² poate fi însumat cu -3xy², dar nu poate fi însumat cu -3x²y sau -3y².
• Vezi ecuația x² + 3x + 6 - 8x. În această ecuație, putem adăuga 3x și -8x deoarece au aceeași variabilă și exponent. Ecuația simplă devine x² - 5x + 6.

Pasul 2. Simplificați numerele fracționate prin împărțirea sau tăierea factorilor

Fracțiile care au numai numere (și fără variabile) în numărător și numitor pot fi simplificate în mai multe moduri. Primul, și poate cel mai ușor, este să ne gândim la fracție ca la o problemă de divizare și să împărțim numitorul la numărător. De asemenea, orice factor de multiplicare care apare în numărător și numitor poate fi tăiat deoarece împărțirea celor doi factori are ca rezultat numărul 1.

De exemplu, uitați-vă la fracțiunea 36/60. Dacă avem un calculator, îl putem împărți pentru a obține răspunsul 0, 6. Cu toate acestea, dacă nu avem un calculator, îl putem simplifica totuși prin eliminarea acelorași factori. Un alt mod de a imagina 36/60 este (6 × 6) / (6 × 10). Această fracțiune poate fi scrisă ca 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, deci fracția noastră este de fapt 1 × 6/10 = 6/10. Cu toate acestea, nu am terminat încă - atât 6, cât și 10 au același factor, care este 2. Repetând metoda de mai sus, rezultatul devine 3/5.

Pasul 3. Pe fracția variabilă, tăiați toți factorii variabilei

Ecuațiile variabile sub formă de fracții au un mod unic de simplificare. La fel ca fracțiile obișnuite, fracțiile variabile vă permit să eliminați factorii pe care atât numeratorul, cât și numitorul îi au în comun. Cu toate acestea, în fracțiile variabile, acești factori pot fi numere și ecuații ale variabilei reale.

• Să spunem că ecuația (3x² + 3x) / (- 3x² + 15x). Această fracție poate fi scrisă ca (x + 1) (3x) / (3x) (5 - x), 3x apare atât la numărător, cât și la numitor. Prin încrucișarea acestor factori din ecuație, rezultatul devine (x + 1) / (5 - x). La fel ca în expresie (2x² + 4x + 6) / 2, deoarece fiecare parte este divizibilă cu 2, putem scrie ecuația ca (2 (x² + 2x + 3)) / 2 și apoi simplificați la x² + 2x + 3.
• Rețineți că nu puteți tăia toate secțiunile - puteți șterge doar factorii de multiplicare care apar în numărător și numitor. De exemplu, în expresia (x (x + 2)) / x, x poate fi tăiat atât din numărător, cât și din numitor, astfel încât să devină (x + 2) / 1 = (x + 2). Cu toate acestea, (x + 2) / x nu poate fi tăiat la 2/1 = 2.

Pasul 4. Înmulțiți partea dintre paranteze cu constanta

Când înmulțiți partea care are variabila între paranteze cu o constantă, uneori înmulțirea fiecărei părți din paranteze cu o constantă poate duce la o ecuație mai simplă. Acest lucru se aplică constantelor care constau numai din numere și constante care au variabile.

• De exemplu, ecuația 3 (x² + 8) poate fi simplificat la 3x² + 24, în timp ce 3x (x² + 8) poate fi simplificat la 3x³ + 24x.
• Rețineți că, în unele cazuri, cum ar fi fracțiile variabile, constantele din jurul parantezelor pot fi tăiate astfel încât să nu fie nevoie să fie înmulțite cu partea din paranteze. În fracții (3 (x² + 8)) / 3x, de exemplu, factorul 3 apare atât în numărător, cât și în numitor, deci îl putem tăia și simplifica expresia la (x² + 8) / x. Această expresie este mai simplă și mai ușor de utilizat decât (3x³ + 24x) / 3x, care este rezultatul pe care îl vom obține dacă îl multiplicăm.

Pasul 5. Simplificați prin factoring

Factoringul este o tehnică care poate fi utilizată pentru a simplifica unele expresii variabile, inclusiv polinoame. Gândiți-vă la factoring ca opusul înmulțirii cu partea dintre paranteze în pasul de mai sus - uneori, o expresie poate fi gândită ca două părți care se înmulțesc una cu cealaltă, mai degrabă decât o expresie unitară. Acest lucru este valabil mai ales dacă luarea în considerare a unei ecuații vă permite să tăiați una dintre părțile sale (ca în fracțiuni). În anumite cazuri (adesea cu ecuații pătratice), factorizarea vă poate permite chiar să găsiți soluția la ecuație.

• Să asumăm din nou expresia x² - 5x + 6. Această expresie poate fi luată în considerare la (x - 3) (x - 2). Deci, dacă x² - 5x + 6 este numeratorul unei ecuații date în care numitorul are unul dintre acești factori, ca în expresia (x² - 5x + 6) / (2 (x - 2)), s-ar putea să dorim să o scriem sub formă de factor, astfel încât să putem tăia factorul cu numitorul. Cu alte cuvinte, în (x - 3) (x - 2) / (2 (x - 2)), partea (x - 2) poate fi tăiată pentru a fi (x - 3) / 2.

• După cum sa menționat mai sus, un alt motiv pentru care ați putea dori să vă factorizați ecuațiile este că factorizarea vă poate oferi răspunsuri la anumite ecuații, mai ales dacă acestea sunt scrise ca egale cu 0. De exemplu, ecuația x² - 5x + 6 = 0. Factorizarea dă (x - 3) (x - 2) = 0. Deoarece orice număr înmulțit cu zero este egal cu zero, știm că dacă orice parte a parantezelor este egală cu zero, toată ecuația din stânga lui semnul egal este, de asemenea, zero. Astfel încât

  Pasul 3. da

  Pasul 2. sunt cele două răspunsuri la ecuație.