O ecuație rațională este o fracție cu una sau mai multe variabile în numărător sau numitor. O ecuație rațională este orice fracțiune care implică cel puțin o ecuație rațională. Ca și ecuațiile algebrice obișnuite, ecuațiile raționale sunt rezolvate efectuând aceeași operație pe ambele părți ale ecuației până când variabilele pot fi transferate pe ambele părți ale ecuației. Două tehnici speciale, multiplicarea încrucișată și găsirea numitorului cel mai puțin comun, sunt modalități foarte utile de a muta variabile și de a rezolva ecuații raționale.
Etapa
Metoda 1 din 2: Înmulțirea încrucișată
Pasul 1. Dacă este necesar, rearanjați ecuația pentru a obține o fracțiune pe o parte a ecuației
Înmulțirea încrucișată este o modalitate rapidă și ușoară de a rezolva ecuațiile raționale. Din păcate, această metodă poate fi utilizată numai pentru ecuații raționale care conțin cel puțin o ecuație rațională sau o fracție pe fiecare parte a ecuației. Dacă ecuația dvs. nu îndeplinește aceste cerințe transversale pentru produs, este posibil să fie necesar să utilizați operații algebrice pentru a muta piesele în locurile potrivite.
-
De exemplu, ecuația (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 poate fi ușor pusă sub formă de produs încrucișat adăugând x / (- 2) la ambele părți ale ecuației, astfel încât să devină (x + 3) / 4 = x / (- 2).
Rețineți că numerele zecimale și întregi pot fi convertite în fracții dând numitorul 1. (x + 3) / 4 - 2, 5 = 5, de exemplu, poate fi rescris ca (x + 3) / 4 = 7, 5 / 1, făcându-l să satisfacă condiția de multiplicare încrucișată
- Unele ecuații raționale nu pot fi reduse cu ușurință la o formă care are o fracțiune sau o ecuație rațională pe fiecare parte. În astfel de cazuri, utilizați aceeași abordare cu cel mai mic numitor.
Pasul 2. Înmulțirea încrucișată
Înmulțirea încrucișată înseamnă multiplicarea unuia dintre numeratorii unei fracții cu numitorul unei alte fracții și invers. Înmulțiți numeratorul fracției din stânga cu numitorul fracției din dreapta. Repetați cu numitorul drept cu numitorul stâng.
Înmulțirea încrucișată funcționează conform principiilor algebrice de bază. Ecuațiile raționale și alte fracții pot fi transformate în non-fracțiuni înmulțindu-le cu numitorul. Produsul încrucișat este practic o modalitate rapidă de a multiplica ambele părți ale unei ecuații cu ambii numitori. Nu crede? Încercați - veți obține același rezultat după simplificare
Pasul 3. Faceți cele două produse egale între ele
După multiplicarea încrucișată, veți obține două rezultate de multiplicare. Faceți-le egale între ele și simplificați pentru a face ecuația cât mai simplă posibil.
De exemplu, dacă ecuația rațională inițială a fost (x + 3) / 4 = x / (- 2), după multiplicarea încrucișată, noua dvs. ecuație devine -2 (x + 3) = 4x. Dacă doriți, îl puteți scrie și ca -2x - 6 = 4x
Pasul 4. Găsiți valoarea variabilei dvs
Utilizați operații algebrice pentru a găsi valoarea variabilei ecuației dvs. Amintiți-vă că, dacă x apare pe ambele părți ale ecuației, trebuie să adăugați sau să scădeți x din ambele părți ale ecuației pentru a lăsa x pe o singură parte a ecuației.
În exemplul nostru, putem împărți ambele părți ale ecuației cu -2, deci x + 3 = -2x. Scăderea x din ambele părți dă 3 = -3x. În cele din urmă, împărțind ambele părți la -3, rezultatul devine -1 = x, care poate fi scris ca x = -1. Am găsit valoarea lui x, rezolvând ecuația noastră rațională
Metoda 2 din 2: Găsirea celui mai mic denumitor comun
Pasul 1. Cunoașteți ora exactă pentru a utiliza același cel mai mic numitor
Același cel mai mic numitor poate fi folosit pentru a simplifica ecuațiile raționale, făcându-le căutabile pentru valori variabile. Găsirea numitorului cel mai puțin comun este o idee bună dacă ecuația dvs. rațională nu poate fi ușor scrisă în termeni de o fracție (și doar o fracție) pe fiecare parte a ecuației. Pentru rezolvarea ecuațiilor raționale cu trei sau mai multe părți, cel mai puțin comun numitor este util. Cu toate acestea, pentru a rezolva o ecuație rațională cu doar două părți, este mai rapid să folosiți produsul încrucișat.
Pasul 2. Verificați numitorul fiecărei fracții
Identificați cel mai mic număr pe care fiecare numitor îl poate împărți și produce un număr întreg. Acest număr este cel mai puțin numitor comun pentru ecuația dvs.
- Uneori, cel mai mic numitor comun - adică cel mai mic număr care are toți factorii din numitor - este clar vizibil. De exemplu, dacă ecuația dvs. este x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6, nu este greu să vedeți cel mai mic număr care are un factor de 3, 2 și 6, care este numărul 6.
- Cu toate acestea, adesea, cel mai puțin comun numitor al unei ecuații raționale nu este clar vizibil. Într-un caz ca acesta, încercați să verificați multiplii numitorului mai mare până găsiți un număr care are un factor al tuturor celorlalți numitori mai mici. Adesea, cel mai puțin comun numitor este produsul a doi numitori. De exemplu, în ecuația x / 8 + 2/6 = (x-3) / 9, cel mai mic numitor comun este 8 * 9 = 72.
- Dacă unul sau mai mulți dintre numitorii fracțiunii dvs. au variabile, acest proces este mai dificil, dar este posibil să se facă. Într-un caz ca acesta, cel mai mic numitor comun este o ecuație (cu o variabilă) care este divizibilă cu toți ceilalți numitori. De exemplu, în ecuația 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x), cel mai mic numitor comun este 3x (x-1) deoarece orice numitor îl poate împărți - împărțirea la (x-1) dă 3x, împărțind la 3x dă (x-1), iar împărțind la x dă 3 (x-1).
Pasul 3. Înmulțiți fiecare fracție din ecuația rațională cu 1
Înmulțirea fiecărei părți cu 1 pare inutilă. Dar iată trucul. 1 poate fi definit ca orice număr care este același atât în numărător, cât și în numitor, cum ar fi -2/2 și 3/3, care este modul corect de a scrie 1. Această metodă profită de definiția alternativă. Înmulțiți fiecare fracție din ecuația rațională cu 1, notând numărul 1 care, atunci când este înmulțit cu numitorul, dă cel mai mic numitor comun.
- În exemplul nostru de bază, vom înmulți x / 3 cu 2/2 pentru a obține 2x / 6 și înmulți 1/2 cu 3/3 pentru a obține 3/6. 2x + 1/6 are deja același cel mai mic numitor, care este 6, deci îl putem înmulți cu 1/1 sau îl putem lăsa în pace.
- În exemplul nostru cu o variabilă în numitorul fracției, procesul este puțin mai complicat. Deoarece cel mai mic numitor al nostru este 3x (x-1), înmulțim fiecare ecuație rațională cu ceva care returnează 3x (x-1). Vom înmulți 5 / (x-1) cu (3x) / (3x) ceea ce dă 5 (3x) / (3x) (x-1), înmulțim 1 / x cu 3 (x-1) / 3 (x- 1) care dă 3 (x-1) / 3x (x-1) și înmulțirea 2 / (3x) cu (x-1) / (x-1) dă 2 (x-1) / 3x (x- 1).
Pasul 4. Simplificați și găsiți valoarea lui x
Acum, deoarece fiecare parte a ecuației raționale are același numitor, puteți elimina numitorul din ecuația dvs. și rezolva numeratorul. Înmulțiți ambele părți ale ecuației pentru a obține valoarea numărătorului. Apoi, utilizați operații algebrice pentru a găsi valoarea lui x (sau orice variabilă pe care doriți să o rezolvați) pe o parte a ecuației.
- În exemplul nostru de bază, după înmulțirea tuturor părților cu forma alternativă 1, obținem 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. Se pot adăuga două fracții dacă au același numitor, deci putem simplifica această ecuație la (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6 fără a modifica valoarea. Înmulțiți ambele părți cu 6 pentru a elimina numitorul, astfel încât rezultatul este 2x + 3 = 3x + 1. Scădeți 1 din ambele părți pentru a obține 2x + 2 = 3x și scădeți 2x din ambele părți pentru a obține 2 = x, care poate fi scris ca x = 2.
- În exemplul nostru cu o variabilă în numitor, ecuația noastră după înmulțirea cu 1 devine 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 (x-1) / 3x (x-1). Înmulțind toate părțile cu același cel mai mic numitor, permițându-ne să omitem numitorul, devine 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Acest lucru este valabil și pentru 5x = 3x - 3 + 2x -2, care simplifică la 15x = x - 5. Scăderea x din ambele părți dă 14x = -5, care, în cele din urmă, simplifică la x = -5/14.
sfaturi
- După ce ați rezolvat variabila, verificați răspunsul conectând valoarea variabilei la ecuația originală. Dacă valoarea variabilă este corectă, puteți simplifica ecuația inițială într-o afirmație simplă care este întotdeauna egală cu 1 = 1.
- Rețineți că puteți scrie orice polinom ca o ecuație rațională; puneți-l deasupra numitorului 1. Deci x + 3 și (x + 3) / 1 au aceeași valoare, dar a doua ecuație poate fi clasificată ca o ecuație rațională, deoarece este scrisă ca o fracție.
