3 moduri de a rezolva ecuațiile cubice

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-01-16 19:53

Când găsiți prima dată ecuația cubică (care este de forma toporului ³ + bx ² + cx + d = 0), poate credeți că problema va fi greu de rezolvat. Dar să știți că rezolvarea ecuațiilor cubice există de fapt de secole! Această soluție, descoperită de matematicienii italieni Niccolò Tartaglia și Gerolamo Cardano în anii 1500, este una dintre primele formule cunoscute în Grecia antică și Roma. Rezolvarea ecuațiilor cubice poate fi puțin dificilă, dar cu abordarea corectă (și cunoștințe suficiente), chiar și cele mai dificile ecuații cubice pot fi rezolvate.

Etapa

Metoda 1 din 3: Rezolvarea utilizând ecuații pătratice

Pasul 1. Verificați dacă ecuația dvs. cubică are o constantă

După cum sa menționat mai sus, forma ecuației cubice este ax ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c, iar valoarea lui d poate fi 0 fără a afecta forma acestei ecuații cubice; acest lucru înseamnă practic că ecuația cubică nu trebuie să includă întotdeauna valoarea lui bx ², cx sau d să fie o ecuație cubică. Pentru a începe să utilizați acest mod destul de ușor de rezolvare a ecuațiilor cubice, verificați dacă ecuația dvs. cubică are o constantă (sau o valoare de d). Dacă ecuația dvs. nu are o constantă sau o valoare pentru d, atunci puteți utiliza o ecuație pătratică pentru a găsi răspunsul la ecuația cubică după câțiva pași.

Pe de altă parte, dacă ecuația dvs. are o valoare constantă, atunci veți avea nevoie de o altă soluție. Consultați pașii de mai jos pentru alte abordări

Pasul 2. Factorizați valoarea x din ecuația cubică

Deoarece ecuația dvs. nu are valoare constantă, toate componentele din ea au variabila x. Aceasta înseamnă că această valoare a lui x poate fi luată în calcul din ecuație pentru ao simplifica. Faceți acest pas și rescrieți ecuația cubică în forma x (ax ² + bx + c).

De exemplu, să spunem că ecuația cubică originală este de 3 x ³ + -2 x ² + 14 x = 0. Prin factorizarea unei variabile x din această ecuație, obținem ecuația x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

Pasul 3. Folosiți ecuații pătratice pentru a rezolva ecuațiile dintre paranteze

Este posibil să observați că unele dintre noile dvs. ecuații, care sunt cuprinse între paranteze, sunt sub forma unei ecuații pătratice (ax ² + bx + c). Aceasta înseamnă că putem găsi valoarea necesară pentru ca această ecuație să fie egală cu zero prin conectarea a, b și c în formula ecuației pătratice ({- b +/- √ (b ²- 4 ac)} / 2 a). Efectuați aceste calcule pentru a găsi două răspunsuri la ecuația dvs. cubică.

• În exemplul nostru, conectați valorile a, b și c (3, -2 și, respectiv, 14) la ecuația pătratică după cum urmează:

  {- b +/- √ (b ²- 4 ac)} / 2 a

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• Raspunsul 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12,8 i} / 6

• Răspunsul 2:

  {2 - 12,8 i} / 6

Pasul 4. Folosiți zerouri și răspunsul la ecuația pătratică ca răspuns la ecuația dvs. cubică

Ecuațiile pătratice vor avea două răspunsuri, în timp ce ecuațiile cubice au trei răspunsuri. Știi deja două răspunsuri din trei; pe care îl obțineți din partea „pătrată” a ecuației între paranteze. Dacă ecuația dvs. cubică poate fi rezolvată prin „factorizare” astfel, al treilea răspuns este aproape întotdeauna 0. Sigur! Tocmai ați rezolvat o ecuație cubică.

Motivul care face ca această metodă să funcționeze este faptul fundamental că „orice număr înmulțit cu zero este egal cu zero”. Când calculați ecuația în forma x (ax ² + bx + c) = 0, practic îl împărțiți în două „părți”; o parte este variabila x din partea stângă și cealaltă parte este ecuația pătratică între paranteze. Dacă una dintre aceste două părți este zero, atunci întreaga ecuație va fi, de asemenea, zero. Astfel, cele două răspunsuri la ecuația pătratică dintre paranteze, care ar face zero, sunt răspunsurile la ecuația cubică, precum și 0 în sine - ceea ce ar face ca partea din partea stângă să fie și zero.

Metoda 2 din 3: Găsirea răspunsurilor întregi folosind o listă de factori

Pasul 1. Asigurați-vă că ecuația dvs. cubică are o valoare constantă

Deși metodele descrise mai sus sunt destul de ușor de utilizat, deoarece nu este nevoie să învățați o nouă tehnică de calcul pentru a le utiliza, ele nu vă vor ajuta întotdeauna să rezolvați ecuațiile cubice. Dacă ecuația dvs. cubică este de forma toporului ³ + bx ² + cx + d = 0, unde valoarea lui d nu este egală cu zero, metoda de „factorizare” de mai sus nu funcționează, deci va trebui să utilizați una dintre metodele din această secțiune pentru a rezolva acest lucru.

De exemplu, să presupunem că avem ecuația 2 x ³ + 9 x ² + 13 x = -6. În acest caz, pentru a obține zero pe partea dreaptă a ecuației, trebuie să adăugăm 6 la ambele părți. După aceea, vom obține o nouă ecuație 2 x ³ + 9 x ² + 13 x + 6 = 0, cu o valoare de d = 6, deci nu putem folosi metoda „factorizării” ca în metoda anterioară.

Pasul 2. Găsiți factorii lui a și d

Pentru a vă rezolva ecuația cubică, începeți prin a găsi factorul a (coeficientul lui x ³) și d (valoarea constantă la sfârșitul ecuației). Amintiți-vă, factorii sunt numere care pot fi înmulțite între ele pentru a produce un anumit număr. De exemplu, deoarece puteți obține 6 înmulțind 6 × 1 și 2 × 3, 1, 2, 3 și 6 sunt factori de 6.

• În exemplul de problemă pe care îl folosim, a = 2 și d = 6. Factorul 2 este 1 și 2. În timp ce factorul 6 este 1, 2, 3 și 6.

  

  Pasul 3. Împarte factorul a la factorul d

  Apoi, enumerați valorile obținute împărțind fiecare factor al lui la fiecare factor al lui d. Acest calcul are ca rezultat, de obicei, multe valori fracționare și mai multe numere întregi. Valoarea întregului pentru a vă rezolva ecuația cubică este una dintre numerele întregi obținute din calcul.

  În ecuația noastră, împărțiți valoarea factorului a (1, 2) la factorul d (1, 2, 3, 6) și obțineți următoarele rezultate: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 și 2/3. Apoi, adăugați valori negative la listă și obținem: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 și -2/3. Răspunsul la ecuația cubică - care este un număr întreg, se află pe listă.

  

  Pasul 4. Utilizați diviziunea sintetică pentru a vă verifica manual răspunsurile

  Odată ce aveți o listă de valori precum cea de mai sus, puteți căuta valorile întregi care sunt răspunsurile la ecuația dvs. cubică introducând fiecare număr întreg manual și puteți găsi care valoare returnează zero. Cu toate acestea, dacă nu doriți să petreceți timp făcând acest lucru, există o modalitate de a face acest lucru mai repede, și anume cu un calcul numit divizare sintetică. Practic, ați împărți valoarea întreagă la coeficienții originali a, b, c și d în ecuația dvs. cubică. Dacă restul este zero, atunci acea valoare este unul dintre răspunsurile la ecuația dvs. cubică.

  • Împărțirea sintetică este un subiect complex - consultați linkul de mai jos pentru mai multe informații. Iată un exemplu despre cum să găsiți unul dintre răspunsurile la ecuația dvs. cubică cu diviziune sintetică:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    Deoarece obținem rezultatul final egal cu 0, știm că unul dintre răspunsurile întregi la ecuația noastră cubică este - 1.

  Metoda 3 din 3: Folosirea abordării discriminante

  

  Pasul 1. Notați ecuațiile a, b, c și d

  Pentru a găsi răspunsul la ecuația cubică în acest fel, vom face o mulțime de calcule cu coeficienții din ecuația noastră. Din această cauză, este o idee bună să notați valorile a, b, c și d înainte de a uita oricare dintre valori.

  De exemplu, pentru ecuația x ³ - 3 x ² + 3 x - 1, scrieți-l ca a = 1, b = -3, c = 3 și d = -1. Nu uitați că atunci când variabila x nu are coeficient, valoarea sa este 1.

  

  Pasul 2. Calculați 0 = b ² - 3 aparate de aer condiționat.

  Abordarea discriminantă pentru găsirea răspunsurilor la ecuații cubice necesită calcule complexe, dar dacă urmați pașii cu atenție, poate fi foarte util pentru rezolvarea ecuațiilor cubice greu de rezolvat în alte moduri. Pentru început, găsiți valoarea 0, care este prima valoare semnificativă a celor mai multe de care avem nevoie, conectând valoarea corespunzătoare la formula b ² - 3 aparate de aer condiționat.

  • În exemplul pe care îl folosim, îl vom rezolva după cum urmează:

    b ² - 3 ac

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  Pasul 3. Calculați 1 = 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d.

  Următoarea valoare semnificativă de care avem nevoie, 1, necesită un calcul mai lung, dar poate fi găsită în același mod ca 0. Introduceți valoarea corespunzătoare în formula 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d pentru a obține valoarea 1.

  • În acest exemplu, îl rezolvăm după cum urmează:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  Pasul 4. Calculați = 1² - 4Δ0³) -27 a ².

  Apoi, calculăm valoarea „discriminantă” a valorilor 0 și 1. Discriminantul este un număr care vă oferă informații despre rădăcina polinomului (este posibil să fi memorat inconștient formula discriminantă pătratică: b ² - 4 aparate de aer condiționat). În cazul unei ecuații cubice, dacă valoarea discriminantului este pozitivă, atunci ecuația are trei răspunsuri cu număr real. Dacă valoarea discriminantă este egală cu zero, atunci ecuația are unul sau două răspunsuri cu număr real, iar unele dintre răspunsuri au aceeași valoare. Dacă valoarea este negativă, atunci ecuația are un singur răspuns de număr real, deoarece graficul ecuației va intersecta întotdeauna axa x cel puțin o dată.)

  • În acest exemplu, deoarece atât 0, cât și 1 = 0, găsirea valorii lui este foarte ușoară. Trebuie doar să îl calculăm în felul următor:

    1² - 4Δ0³) -27 a ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, deci ecuația noastră are 1 sau 2 răspunsuri.

  

  Pasul 5. Calculați C = ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1) / 2).

  Ultima valoare importantă pentru noi este valoarea lui C. Această valoare ne permite să obținem toate cele trei rădăcini ale ecuației noastre cubice. Rezolvați ca de obicei, conectând valorile 1 și 0 în formulă.

  • În acest exemplu, vom obține valoarea lui C prin:

    ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1) / 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = C

  

  Pasul 6. Calculați cele trei rădăcini ale ecuației cu variabila dvs

  Rădăcina (răspunsul) ecuației dvs. cubice este determinată de formulă (b + u C + (Δ0 / u C)) / 3 a, unde u = (-1 + (-3)) / 2 și n este egal cu 1, 2 sau 3. Introduceți valorile în formula pentru a le rezolva - ar putea fi destul de multe calcule pe care trebuie să le faceți, dar ar trebui să obțineți toate cele trei răspunsuri la ecuația cubică!

  • În acest exemplu, l-am putea rezolva verificând răspunsurile atunci când n este egal cu 1, 2 și 3. Răspunsul pe care îl obținem din acest calcul este posibilul răspuns la ecuația noastră cubică - orice valoare introducem în ecuația cubică și dă același rezultat. cu 0, este răspunsul corect. De exemplu, dacă obținem un răspuns egal cu 1 dacă într-unul din experimentele noastre de calcul, conectând valoarea 1 la ecuația x ³ - 3 x ² + 3 x - 1 dă rezultatul final egal cu 0. Astfel

    Pasul 1. este unul dintre răspunsurile la ecuația noastră cubică.