O ecuație pătratică este o ecuație al cărei grad cel mai înalt este 2 (pătrat). Există trei modalități principale de a rezolva o ecuație pătratică: luând în calcul ecuația pătratică dacă poți, folosind o formulă pătratică sau completând pătratul. Dacă doriți să stăpâniți aceste trei metode, urmați acești pași.
Etapa
Metoda 1 din 3: Factorizarea ecuațiilor
Pasul 1. Combinați toate variabilele egale și mutați-le pe o parte a ecuației
Primul pas către luarea în calcul a unei ecuații este mutarea tuturor variabilelor egale pe o parte a ecuației, cu x2este pozitiv. Pentru a combina variabile, adăugați sau scădeți toate variabilele x2, x și constante (numere întregi), le mută pe cealaltă parte a ecuației, astfel încât să nu rămână nimic pe cealaltă parte. Când cealaltă parte nu are variabile rămase, scrieți un 0 lângă semnul egal. Iată cum să o faceți:
- 2x2 - 8x - 4 = 3x - x2
- 2x2 + x2 - 8x -3x - 4 = 0
- 3x2 - 11x - 4 = 0
Pasul 2. Factorizați această ecuație
Pentru a calcula această ecuație, trebuie să utilizați factorul x2 (3) și factorul constant (-4), înmulțindu-le și adăugându-le pentru a se potrivi variabilei din mijloc, (-11). Iată cum să o faceți:
- 3x2 are un singur factor posibil care este, 3x și x, le puteți scrie între paranteze: (3x +/-?) (x +/-?) = 0.
- Apoi, utilizați procesul de eliminare pentru a factoriza 4 pentru a găsi produsul care produce -11x. Puteți utiliza produsul 4 și 1 sau 2 și 2, deoarece atunci când înmulțiți ambele obțineți 4. Dar amintiți-vă că unul dintre numere trebuie să fie negativ, deoarece rezultatul este -4.
- Încercați (3x + 1) (x - 4). Când îl înmulțiți, rezultatul este - 3x2 -12x + x -4. Dacă combinați variabilele -12 x și x, rezultatul este -11x, care este valoarea dvs. de mijloc. Tocmai ai luat în calcul o ecuație pătratică.
- De exemplu, să încercăm să luăm în calcul celălalt produs: (3x -2) (x +2) = 3x2 + 6x -2x -4. Dacă combinați variabilele, rezultatul este de 3x2 -4x -4. Chiar dacă factorii -2 și 2 atunci când sunt înmulțiți produc -4, media nu este aceeași, deoarece doriți să obțineți o valoare de -11x în loc de -4x.
Pasul 3. Să presupunem că fiecare paranteză este zero într-o ecuație diferită
Acest lucru vă va permite să găsiți 2 x valori care vor face ecuația dvs. zero. Ți-ai luat în calcul ecuația, deci tot ce trebuie să faci este să presupui că calculul din fiecare paranteză este egal cu zero. Astfel, puteți scrie 3x + 1 = 0 și x - 4 = 0.
Pasul 4. Rezolvați fiecare ecuație separat
Într-o ecuație pătratică, există 2 valori pentru x. Rezolvați fiecare ecuație separat mutând variabilele și notând 2 răspunsuri pentru x, astfel:
-
Rezolvați 3x + 1 = 0
- 3x = -1 ….. prin scăderea
- 3x / 3 = -1/3 ….. prin divizare
- x = -1/3 ….. prin simplificare
-
Rezolvați x - 4 = 0
x = 4 ….. prin scăderea
- x = (-1/3, 4) ….. făcând mai multe răspunsuri posibile separate, adică x = -1/3 sau x = 4 ambele pot fi corecte.
Pasul 5. Verificați x = -1/3 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
Astfel obținem (3 [-1/3] + 1) ([- 1/3] - 4)? =? 0 ….. prin substituirea (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ….. prin simplificarea (0) (- 4 1/3) = 0 ….. prin multiplicarea Deci, 0 = 0 ….. Da, x = -1/3 este adevărat.
Pasul 6. Verificați x = 4 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
Astfel obținem (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0 ….. prin înlocuirea (13) (4 - 4)? =? 0….. prin simplificarea (13) (0) = 0….. prin multiplicarea Deci, 0 = 0….. Da, x = 4 este, de asemenea, adevărat.
Deci, după verificarea separată, ambele răspunsuri sunt corecte și pot fi utilizate în ecuații
Metoda 2 din 3: Utilizarea formulei quadratică
Pasul 1. Combinați toate variabilele egale și mutați-le pe o parte a ecuației
Mutați toate variabilele pe o parte a ecuației, cu valoarea variabilei x2 pozitiv. Notați variabilele cu exponenți secvențiali, astfel încât x2 scris primul, urmat de variabile și constante. Iată cum să o faceți:
- 4x2 - 5x - 13 = x2 -5
- 4x2 - X2 - 5x - 13 +5 = 0
- 3x2 - 5x - 8 = 0
Pasul 2. Notați formula pătratică
Formula pătratică este: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}
Pasul 3. Determinați valorile lui a, b și c din ecuația pătratică
Variabila a este coeficientul x2, b este coeficientul variabilei x și c este o constantă. Pentru ecuația 3x2 -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5 și c = -8. Notează-le pe toate trei.
Pasul 4. Înlocuiți valorile lui a, b și c în ecuație
După ce cunoașteți cele trei valori variabile, conectați-le la o ecuație ca aceasta:
- {-b +/- √ (b2 - 4ac)} / 2
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
Pasul 5. Efectuați calcule
După ce ați introdus numerele, faceți câteva calcule pentru a simplifica semnul pozitiv sau negativ, înmulțiți sau păstrați variabilele rămase. Iată cum să o faceți:
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Pasul 6. Simplificați rădăcina pătrată
Dacă numărul de sub rădăcina pătrată este un pătrat perfect, obțineți un număr întreg. Dacă numărul nu este un pătrat perfect, simplificați până la cea mai simplă formă rădăcină. Dacă numărul este negativ și credeți că ar trebui să fie negativ, valoarea rădăcină va fi complicată. În acest exemplu, (121) = 11. Puteți scrie x = (5 +/- 11) / 6.
Pasul 7. Căutați răspunsurile pozitive și negative
Odată ce ați eliminat semnul rădăcină pătrată, puteți lucra până la găsirea unui rezultat pozitiv și negativ pentru x. Acum că aveți (5 +/- 11) / 6, puteți scrie 2 răspunsuri:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
Pasul 8. Completați răspunsurile pozitive și negative
Efectuați calcule matematice:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
Pasul 9. Simplificați
Pentru a simplifica fiecare răspuns, împărțiți la cel mai mare număr care poate împărți ambele numere. Împarte prima fracție la 2 și împarte a doua la 6 și ai găsit valoarea lui x.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
Metoda 3 din 3: Completați pătratul
Pasul 1. Mutați toate variabilele pe o parte a ecuației
Asigurați-vă că a sau variabilă x2 pozitiv. Iată cum să o faceți:
- 2x2 - 9 = 12x =
-
2x2 - 12x - 9 = 0
În această ecuație, variabila a este 2, variabila b este -12, iar variabila c este -9
Pasul 2. Mutați variabila sau constanta c pe cealaltă parte
Constantele sunt termeni numerici fără variabile. Mutați în partea dreaptă a ecuației:
- 2x2 - 12x - 9 = 0
- 2x2 - 12x = 9
Pasul 3. Împarte ambele părți la coeficientul a sau variabila x2.
Dacă x2 nu are o variabilă și coeficientul este 1, puteți sări peste acest pas. În acest caz, trebuie să împărțiți toate variabilele la 2, astfel:
- 2x2/ 2 - 12x / 2 = 9/2 =
- X2 - 6x = 9/2
Pasul 4. Împarte b la 2, pătrează-l și adaugă rezultatul pe ambele părți
Valoarea lui b în acest exemplu este -6. Iată cum să o faceți:
- -6/2 = -3 =
- (-3)2 = 9 =
- X2 - 6x + 9 = 9/2 + 9
Pasul 5. Simplificați ambele părți
Factorizați variabila din partea stângă pentru a obține (x-3) (x-3) sau (x-3)2. Adăugați valorile în dreapta pentru a obține 9/2 + 9 sau 9/2 + 18/2, adică 27/2.
Pasul 6. Găsiți rădăcina pătrată pentru ambele părți
Rădăcina pătrată a (x-3)2 este (x-3). Puteți scrie rădăcina pătrată a 27/2 ca ± √ (27/2). Astfel, x - 3 = ± √ (27/2).
Pasul 7. Simplificați rădăcinile și găsiți valoarea lui x
Pentru a simplifica ± √ (27/2), găsiți pătratul perfect între numerele 27 și 2 sau factorizați acest număr. Pătratul perfect de 9 poate fi găsit în 27 deoarece 9 x 3 = 27. Pentru a scoate 9 din rădăcina pătrată, scoateți 9 din rădăcină și scrieți 3, rădăcina pătrată, în afara rădăcinii pătrate. Lăsați restul 3 în numeratorul fracției de sub rădăcina pătrată, deoarece 27 nu rezolvă toți factorii și scrieți 2 mai jos. Apoi, mutați constanta 3 din partea stângă a ecuației la dreapta și scrieți cele două soluții pentru x:
- x = 3 + (√6) / 2
- x = 3 - (√6) / 2)
sfaturi
- După cum puteți vedea, semnele rădăcinii nu vor dispărea complet. Astfel, variabilele numărătorului nu pot fi combinate (deoarece nu sunt egale). Nu are rost să-l separi în pozitiv sau negativ. Cu toate acestea, îl putem împărți la același factor, dar NUMAI dacă factorii sunt aceiași pentru ambele constante ȘI coeficientul rădăcinii.
- Dacă numărul de sub rădăcina pătrată nu este un pătrat perfect, atunci ultimii pași sunt puțin diferiți. Iată un exemplu:
- Dacă b este un număr par, formula devine: {- (b / 2) +/- (b / 2) -ac} / a.
