Cum se simplifică fracțiile complexe: 9 pași (cu imagini)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-01-15 08:22

O fracție complexă este o fracție în care numărătorul, numitorul sau ambii conțin și o fracție. Din acest motiv, fracțiile complexe sunt uneori denumite „fracții stivuite”. Simplificarea fracțiilor complexe poate fi ușoară sau dificilă, în funcție de câte numere sunt în numărător și numitor, indiferent dacă unul dintre numere este o variabilă sau complexitatea numărului variabil. Consultați Pasul 1 de mai jos pentru a începe!

Etapa

Metoda 1 din 2: Simplificarea fracțiilor complexe cu multiplicare inversă

Pasul 1. Simplificați numeratorul și numitorul la o singură fracție, dacă este necesar

Fracțiile complexe nu sunt întotdeauna dificil de rezolvat. De fapt, fracțiile complexe al căror numărător și numitor conțin o singură fracție sunt de obicei destul de ușor de rezolvat. Deci, dacă numărătorul sau numitorul (sau ambii) unei fracții complexe conține mai multe fracții sau fracții și un număr întreg, simplificați-l pentru a obține o singură fracție atât în numărător, cât și în numitor. Găsiți cel mai mic multiplu comun (LCM) a două sau mai multe fracții.

• De exemplu, să presupunem că vrem să simplificăm o fracție complexă (3/5 + 2/15) / (5/7 - 3/10). În primul rând, vom simplifica atât numărătorul, cât și numitorul unei fracții complexe într-o singură fracție.

  • Pentru a simplifica numeratorul, utilizați LCM 15 obținut înmulțind 3/5 cu și 3/3. Numeratorul va fi 9/15 + 2/15, care este egal cu 11/15.
  • Pentru a simplifica numitorul, vom folosi rezultatul LCM de 70 care se obține înmulțind 5/7 cu 10/10 și 3/10 cu 7/7. Numitorul va fi 50/70 - 21/70, care este egal cu 29/70.
  • Astfel, noua fracție complexă este (11/15)/(29/70).

Pasul 2. Inversează numitorul pentru a-i găsi reciproc

Prin definiție, împărțirea unui număr la altul este la fel ca înmulțirea primului număr cu reciprocul celui de-al doilea număr. Acum că avem o fracție complexă cu o singură fracție atât în numărător cât și în numitor, vom folosi această diviziune pentru a simplifica fracția complexă. În primul rând, găsiți reciprocul fracției din partea de jos a fracției complexe. Faceți acest lucru „inversând” fracția - punând numeratorul în locul numitorului și invers.

• În exemplul nostru, fracția din numitorul fracției complexe (11/15) / (29/70) este 29/70. Pentru a găsi inversul, îl „inversăm” astfel încât să obținem 70/29.

  Rețineți că, dacă o fracție complexă are un număr întreg în numitor, o putem trata ca o fracție și putem găsi reciprocă. De exemplu, dacă fracția complexă este (11/15) / (29), putem face numitorul 29/1, ceea ce înseamnă că reciprocul este 1/29.

Pasul 3. Înmulțiți numeratorul fracției complexe cu reciprocul numitorului

Acum că avem reciprocul numitorului fracției complexe, înmulțiți-l cu numeratorul pentru a obține o singură fracție simplă. Amintiți-vă că pentru a înmulți două fracții, încrucișăm doar multiplicarea - numeratorul noii fracții este numărul numărătorului celor două fracții vechi, precum și numitorul.

În exemplul nostru, vom multiplica 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 și 15 × 29 = 435. Deci, noua fracție simplă este 770/435.

Pasul 4. Simplificați noua fracție găsind cel mai mare factor comun

Avem deja o fracție simplă, deci tot ce trebuie să facem este să venim cu cel mai simplu număr. Găsiți cel mai mare factor comun (MCD) al numărătorului și numitorului și împărțiți-l pe amândoi la acest număr pentru a-l simplifica.

Unul dintre factorii comuni ai 770 și 435 este 5. Deci, dacă împărțim numărătorul și numitorul fracției la 5, obținem 154/87. 154 și 87 nu au factori comuni, deci acesta este răspunsul final!

Metoda 2 din 2: Simplificarea fracțiilor complexe care conțin numere variabile

Pasul 1. Dacă este posibil, utilizați metoda de multiplicare inversă de mai sus

Pentru a fi clar, aproape toate fracțiile complexe pot fi simplificate prin scăderea numărătorului și numitorului cu o singură fracție și înmulțirea numărătorului cu reciprocul numitorului. Fracțiile complexe care conțin variabile sunt, de asemenea, incluse, deși cu cât este mai complexă expresia variabilelor în fracții complexe, cu atât va fi mai dificilă și consumatoare de timp să se utilizeze multiplicarea inversă. Pentru fracțiile complexe „ușoare” care conțin variabile, multiplicarea inversă este o alegere bună, dar fracțiile complexe cu mai multe numere variabile în numărător și numitor pot fi mai ușor de simplificat în modul alternativ descris mai jos.

• De exemplu, (1 / x) / (x / 6) este ușor de simplificat prin multiplicare inversă. 1 / x × 6 / x = 6 / x². Nu este nevoie să folosiți metode alternative aici.
• Cu toate acestea, ((((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))) este mai dificil de simplificat prin multiplicare inversă. Reducerea numărătorului și numitorului fracțiilor complexe la fracții unice, înmulțirea inversă și reducerea rezultatului la cele mai simple numere poate fi un proces complicat. În acest caz, metoda alternativă de mai jos poate fi mai ușoară.

Pasul 2. Dacă multiplicarea inversă nu este practică, începeți prin găsirea LCM a numărului fracțional în fracția complexă

Primul pas este găsirea LCM a tuturor numerelor fracționare dintr-o fracție complexă - atât în numărător, cât și în numitor. De obicei, dacă unul sau mai multe numere fracționare au un număr în numitor, LCM este numărul din numitor.

Acest lucru este mai ușor de înțeles cu un exemplu. Să încercăm să simplificăm fracțiile complexe menționate mai sus, ((((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))). Numerele fracționare din această fracție complexă sunt (1) / (x + 3) și (1) / (x-5). LCM al celor două fracții este numărul din numitor: (x + 3) (x-5).

Pasul 3. Înmulțiți numeratorul fracției complexe cu LCM nou găsit

Apoi, trebuie să înmulțim numărul din fracția complexă cu LCM al numărului fracțional. Cu alte cuvinte, vom multiplica toate fracțiile complexe cu (KPK) / (KPK). Putem face acest lucru independent, deoarece (KPK) / (KPK) este egal cu 1. Mai întâi, înmulțiți numeratorii înșiși.

• În exemplul nostru, vom înmulți fracția complexă, ((((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))), adică ((x + 3) (x-5)) / ((x + 3) (x-5)). Trebuie să ne înmulțim prin numărătorul și numitorul fracției complexe, înmulțind fiecare număr cu (x + 3) (x-5).

  • Mai întâi, să înmulțim numeratorii: (((1) / (x + 3)) + x - 10) × (x + 3) (x-5)

    • = (((x + 3) (x-5) / (x + 3)) + x ((x + 3) (x-5)) - 10 ((x + 3) (x-5))
    • = (x-5) + (x (x.)² - 2x - 15)) - (10 (x² - 2x - 15))
    • = (x-5) + (x³ - 2x² - 15x) - (10x² - 20x - 150)
    • = (x-5) + x³ - 12x² + 5x + 150
    • = X³ - 12x² + 6x +145

Pasul 4. Înmulțiți numitorul fracției complexe cu LCM așa cum ați face cu numeratorul

Continuați să înmulțiți fracția complexă cu LCM găsit continuând la numitor. Înmulțiți toate, înmulțiți fiecare număr cu LCM.

• Numitorul fracției noastre complexe, ((((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))), este x +4 + ((1) // (x-5)). Îl vom înmulți cu LCM găsit, (x + 3) (x-5).

  • (x +4 + ((1) / (x - 5))) × (x + 3) (x-5)
  • = x ((x + 3) (x-5)) + 4 ((x + 3) (x-5)) + (1 / (x-5)) (x + 3) (x-5).
  • = x (x² - 2x - 15) + 4 (x² - 2x - 15) + ((x + 3) (x-5)) / (x-5)
  • = x³ - 2x² - 15x + 4x² - 8x - 60 + (x + 3)
  • = x³ + 2x² - 23x - 60 + (x + 3)
  • = X³ + 2x² - 22x - 57

Pasul 5. Creați o fracție nouă și simplificată din noul numărător și numitorul

După înmulțirea fracției cu (KPK) / (KPK) și simplificarea acesteia prin combinarea numerelor, rezultatul este o fracție simplă care nu conține un număr fracțional. Rețineți că prin înmulțirea cu LCM a numărului fracțional în fracția complexă originală, numitorul acestei fracții va fi epuizat și lăsați numărul variabil și numărul întreg în numeratorul și numitorul răspunsului, fără fracțiuni.

Cu numeratorul și numitorul găsit mai sus, putem construi o fracție care este aceeași cu fracția complexă originală, dar nu conține numărul fracțional. Numărătorul care a fost obținut este x³ - 12x² + 6x + 145 și numitorul pe care l-am obținut a fost x³ + 2x² - 22x - 57, deci noua fracție devine (X³ - 12x² + 6x + 145) / (x³ + 2x² - 22x - 57)

sfaturi

• Arată fiecare pas al lucrării. Fracțiile pot fi confuze dacă pașii se numără prea repede sau încearcă să o facă pe de rost.
• Găsiți exemple de fracțiuni complexe pe internet sau în cărți. Urmați fiecare pas până când acesta poate fi stăpânit.