În calculul derivat, un punct de inflexiune este punctul pe o curbă la care curba schimbă semnul (de la pozitiv la negativ sau de la negativ la pozitiv). Este utilizat într-o varietate de subiecte, inclusiv inginerie, economie și statistici, pentru a determina modificările fundamentale ale datelor. Dacă trebuie să găsiți punctul de inflexiune al unei curbe, mergeți la Pasul 1.
Etapa
Metoda 1 din 3: Înțelegerea punctelor de inflexiune
Pasul 1. Înțelegeți funcția concavă
Pentru a înțelege punctul de inflexiune, trebuie să faceți distincția între funcțiile concave și convexe. O funcție concavă este o funcție în care linia care leagă două puncte pe grafic nu este niciodată deasupra graficului.
Pasul 2. Înțelegeți funcția convexă
O funcție convexă este practic opusul unei funcții convexe: adică o funcție în care linia care leagă două puncte pe grafic nu este niciodată sub grafic.
Pasul 3. Înțelegeți elementele de bază ale unei funcții
Baza unei funcții este punctul în care funcția este egală cu zero.
Dacă doriți să graficați o funcție, bazele sunt punctele în care funcția intersectează axa x
Metoda 2 din 3: Găsirea derivatului unei funcții
Pasul 1. Găsește prima derivată a funcției tale
Înainte de a găsi punctul de inflexiune, trebuie să găsiți derivatul funcției dvs. Derivata funcției de bază poate fi găsită în orice carte de calcul; Trebuie să le înveți înainte de a trece la locuri de muncă mai complicate. Prima derivată este scrisă ca f '(x). Pentru o expresie polinomială a formei axp + bx (p − 1) + cx + d, prima derivată este apx (p − 1) + b (p 1) x (p − 2) + c.
-
Pentru a ilustra, să presupunem că trebuie să găsiți punctul de inflexiune al funcției f (x) = x3 + 2x − 1. Calculați prima derivată a funcției astfel:
f (x) = (x3 + 2x 1) ′ = (x3) ′ + (2x) ′ (1) ′ = 3x2 + 2 + 0 = 3x2 + 2
Pasul 2. Găsiți a doua derivată a funcției dvs
A doua derivată este prima derivată a primei derivate a funcției, scrisă ca f (x).
-
În exemplul de mai sus, calcularea celei de-a doua derivate a funcției ar fi astfel:
f (x) = (3x2 + 2) ′ = 2 × 3 × x + 0 = 6x
Pasul 3. Faceți a doua derivată egală cu zero
Setați a doua derivată la zero și rezolvați ecuația. Răspunsul dvs. este un posibil punct de inflexiune.
-
În exemplul de mai sus, calculul dvs. ar arăta astfel:
f (x) = 0
6x = 0
x = 0
Pasul 4. Găsiți a treia derivată a funcției dvs
Pentru a vedea dacă răspunsul dvs. este într-adevăr un punct de flexiune, găsiți a treia derivată, care este prima derivată a celei de-a doua derivate a funcției, scrisă ca f (x).
-
În exemplul de mai sus, calculul dvs. ar arăta astfel:
f (x) = (6x) ′ = 6
Metoda 3 din 3: Găsirea punctelor de inflexiune
Pasul 1. Verificați a treia derivată
Regula standard pentru verificarea posibilelor puncte de inflexiune este următoarea: „Dacă a treia derivată nu este zero, f (x) = / 0, punctul de inflexiune posibil este de fapt punctul de inflexiune.” Verificați al treilea derivat. Dacă nu este egal cu zero, atunci acea valoare este adevăratul punct de inflexiune.
În exemplul de mai sus, a treia derivată este 6, nu 0. Astfel, 6 este adevăratul punct de inflexiune
Pasul 2. Găsiți punctul de inflexiune
Coordonatele punctului de inflexiune sunt scrise ca (x, f (x)), unde x este valoarea punctului variabil la punctul de inflexiune și f (x) este valoarea funcției la punctul de inflexiune.
-
În exemplul de mai sus, amintiți-vă că atunci când calculați a doua derivată, găsiți că x = 0. Astfel, trebuie să găsiți f (0) pentru a determina coordonatele dvs. Calculul dvs. va arăta astfel:
f (0) = 03 + 2 × 0−1 = 1.
Pasul 3. Înregistrați coordonatele
Coordonatele punctului de inflexiune sunt valoarea dvs. x și valoarea pe care ați calculat-o mai sus.
