Derivații pot fi folosiți pentru a obține caracteristici utile dintr-un grafic, cum ar fi valorile maxime, minime, de vârf, minime și pante. Îl puteți folosi chiar și pentru a grafica ecuații complexe fără un calculator grafic! Din păcate, lucrul la instrumente derivate este adesea plictisitor, dar acest articol vă va ajuta cu câteva sfaturi și trucuri.
Etapa
Pasul 1. Înțelegeți notația derivată
Următoarele două notații sunt cele mai frecvent utilizate, deși multe altele pot fi găsite aici pe Wikipedia.
- Notare Leibniz Această notație este notația cea mai frecvent utilizată atunci când ecuația implică y și x. dy / dx înseamnă literal derivata lui y față de x. Ar putea fi util să-l considerăm ca y / Δx pentru valori foarte diferite ale lui x și y. Această explicație conduce la definirea limitei derivate: limh-> 0 (f (x + h) -f (x)) / h. Când utilizați această notație pentru a doua derivată, ar trebui să scrieți: d2y / dx2.
- Notare Lagrange Derivata funcției f este, de asemenea, scrisă ca f '(x). Această notație citește f accentuat x. Această notație este mai scurtă decât notația Leibniz și este utilă atunci când vizualizați derivatele ca funcții. Pentru a forma un grad mai mare de derivată, trebuie doar să adăugați „la f, astfel încât a doua derivată să fie f” (x).
Pasul 2. Înțelegeți semnificația derivatului și motivele descendenței
În primul rând, pentru a găsi panta unui grafic liniar, sunt luate două puncte pe linie, iar coordonatele lor sunt introduse în ecuație (y2 - da1)/(X2 - X1). Cu toate acestea, poate fi utilizat numai pentru grafice liniare. Pentru ecuațiile pătratice și superioare, linia va fi o curbă, astfel încât găsirea diferenței dintre două puncte nu este foarte precisă. Pentru a găsi panta tangentei într-un grafic curb, se iau două puncte și se pun în ecuația generală pentru a găsi panta graficului curbei: [f (x + dx) - f (x)] / dx. Dx denotă delta x, care este diferența dintre două coordonate x în două puncte ale graficului. Rețineți că această ecuație este aceeași cu (y2 - da1)/(X2 - X1), numai într-o formă diferită. Din moment ce se știa că rezultatele vor fi imprecise, a fost aplicată o abordare indirectă. Pentru a găsi panta tangentei pe (x, f (x)), dx trebuie să fie aproape de 0, astfel încât cele două puncte trasate să se unească într-un singur punct. Cu toate acestea, nu puteți împărți 0, așa că odată ce ați introdus valorile în două puncte, va trebui să utilizați factorii și alte metode pentru a elimina dx din partea de jos a ecuației. După ce ați făcut acest lucru, creați dx 0 și ați terminat. Aceasta este panta tangentei pe (x, f (x)). Derivata unei ecuații este ecuația generală pentru găsirea pantei oricărei tangente pe un grafic. Acest lucru poate părea foarte complicat, dar există câteva exemple mai jos, care vă vor ajuta să explicați cum să obțineți derivata.
Metoda 1 din 4: Derivate explicite
Pasul 1. Folosiți o derivată explicită dacă ecuația dvs. are deja y pe o parte
Pasul 2. Conectați ecuația în ecuația [f (x + dx) - f (x)] / dx
De exemplu, dacă ecuația este y = x2, derivata va fi [(x + dx)2 - X2] / dx.
Pasul 3. Extindeți și eliminați dx pentru a forma ecuația [dx (2x + dx)] / dx
Acum, puteți arunca două dx în partea de sus și de jos. Rezultatul este 2x + dx și, pe măsură ce dx se apropie de zero, derivata este 2x. Aceasta înseamnă că panta oricărei tangente a graficului y = x2 este de 2x. Introduceți doar valoarea x pentru punctul pentru care doriți să găsiți panta.
Pasul 4. Aflați modele pentru derivarea ecuațiilor similare
Aici sunt cateva exemple.
- Orice exponent este puterea ori valoarea, ridicată la puterea mai mică de 1. De exemplu, derivata lui x5 este de 5x4, și derivatul lui x3, 5 iis3, 5x2, 5. Dacă există deja un număr în fața lui x, înmulțiți-l cu puterea. De exemplu, derivatul lui 3x4 este de 12x3.
- Derivata oricărei constante este zero. Deci, derivata lui 8 este 0.
- Derivata sumei este suma derivatelor respective. De exemplu, derivata lui x3 + 3x2 este de 3x2 + 6x.
- Derivatul produsului este primul factor de ori derivatul celui de-al doilea factor plus cel de-al doilea factor de derivatul primului factor. De exemplu, derivata lui x3(2x + 1) este x3(2) + (2x + 1) 3x2, care este egal cu 8x3 + 3x2.
- Derivata coeficientului (să zicem, f / g) este [g (derivată de f) - f (derivată de g)] / g2. De exemplu, derivata lui (x2 + 2x - 21) / (x - 3) este (x2 - 6x + 15) / (x - 3)2.
Metoda 2 din 4: Derivate implicite
Pasul 1. Folosiți derivate implicite dacă ecuația dvs. nu poate fi deja scrisă cu y pe o parte
De fapt, dacă ai scrie y pe o parte, calculul dy / dx ar fi plictisitor. Iată un exemplu despre cum puteți rezolva acest tip de ecuație.
Pasul 2. În acest exemplu, x2y + 2y3 = 3x + 2y, înlocuiți y cu f (x), astfel încât să vă amintiți că y este de fapt o funcție.
Ecuația devine apoi x2f (x) + 2 [f (x)]3 = 3x + 2f (x).
Pasul 3. Pentru a găsi derivata acestei ecuații, derivă ambele părți ale ecuației în raport cu x
Ecuația devine apoi x2f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2f '(x) = 3 + 2f' (x).
Pasul 4. Înlocuiți din nou f (x) cu y
Aveți grijă să nu înlocuiți f '(x), care este diferit de f (x).
Pasul 5. Găsiți f '(x)
Răspunsul pentru acest exemplu devine (3 - 2xy) / (x2 + 6 ani2 - 2).
Metoda 3 din 4: Derivate de ordin superior
Pasul 1. Derivarea unei funcții de ordin superior înseamnă că derivați derivata (la ordinea 2)
De exemplu, dacă problema vă cere să obțineți al treilea ordin, atunci luați doar derivata derivatei derivatei. Pentru unele ecuații, derivata de ordin superior va fi 0.
Metoda 4 din 4: Regula lanțului
Pasul 1. Dacă y este o funcție diferențială a lui z, iar z este o funcție diferențială a lui x, y este o funcție compusă a lui x, iar derivata lui y față de x (dy / dx) este (dy / du) * (du / dx)
Regula lanțului poate fi, de asemenea, o combinație de ecuații de putere, astfel: (2x4 - X)3. Pentru a găsi derivatul, gândiți-vă la el ca la regula multiplicării. Înmulțiți ecuația cu puterea și micșorați cu 1 la putere. Apoi, înmulțiți ecuația cu derivata ecuației din paranteze care crește puterea (în acest caz, 2x ^ 4 - x). Răspunsul la această întrebare este 3 (2x4 - X)2(8x3 - 1).
sfaturi
- Ori de câte ori vedeți o problemă dificilă de rezolvat, nu vă faceți griji. Încercați doar să îl împărțiți în cât mai multe părți mai mici posibil aplicând regulile înmulțirii, coeficientului etc. Apoi, coborâți fiecare parte.
- Practicați cu regula multiplicării, regula coeficientului, regula lanțului și mai ales derivatele implicite, deoarece aceste reguli sunt mult mai dificile în calcul.
- Înțelegeți bine calculatorul; încercați diferitele funcții din calculatorul dvs. pentru a afla cum să le utilizați. Este foarte util să știți cum să utilizați tangente și funcții derivate în calculatorul dvs. dacă acestea sunt disponibile.
- Amintiți-vă derivatele trigonometrice de bază și cum să le utilizați.
