Cum se derivă funcții implicite: 7 pași (cu imagini)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-01-19 22:14

În calcul, când aveți o ecuație pentru y scrisă sub forma x (de exemplu, y = x² -3x), este ușor de utilizat tehnici de derivare de bază (denumite de matematicieni ca tehnici de derivare a funcției implicite) pentru a găsi derivata. Cu toate acestea, pentru ecuațiile care sunt dificil de construit doar cu termenul y pe o parte a semnului egal (de exemplu, x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), este necesară o abordare diferită. Cu o tehnică numită derivate de funcții implicite, este ușor să găsiți derivate de ecuații multi-variabile, atâta timp cât știți elementele de bază ale derivatelor de funcții explicite!

Etapa

Metoda 1 din 2: Derivarea rapidă a ecuațiilor simple

Pasul 1. Derivați termenii x ca de obicei

Când încercați să obțineți o ecuație multi-variabilă ca x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, poate fi dificil să știi de unde să începi. Din fericire, primul pas al derivatului unei funcții implicite este cel mai ușor. Derivați doar termenii x și constantele de pe ambele părți ale ecuației conform regulilor derivatelor obișnuite (explicite) pentru început. Ignorați termenii y pentru moment.

• Să încercăm să obținem un exemplu al ecuației simple de mai sus. X² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 are doi termeni x: x² și -5x. Dacă dorim să derivăm o ecuație, trebuie să facem acest lucru mai întâi, astfel:

  X² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (Aduceți la puterea de 2 în x² ca coeficient, eliminați x în -5x și schimbați 19 la 0)

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

Pasul 2. Derivați termenii y și adăugați (dy / dx) lângă fiecare termen

Pentru următorul pas, derivă doar termenii y în același mod în care ai derivat termenii x. De data aceasta, însă, adăugați (dy / dx) lângă fiecare termen așa cum ați adăuga coeficienți. De exemplu, dacă coborâți y², atunci derivata devine 2y (dy / dx). Ignorați termenii care au x și y pentru moment.

• În exemplul nostru, ecuația noastră arată acum astfel: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. Vom efectua următorul pas de derivare a y după cum urmează:

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

  (Aduceți la puterea de 2 în y² ca coeficienți, eliminați y în 8y și puneți dy / dx lângă fiecare termen).

  2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy²= 0

Pasul 3. Folosiți regula produsului sau regula coeficientului pentru termenii cu x și y

Lucrul cu termeni care au x și y este puțin dificil, dar dacă cunoașteți regulile pentru produs și coeficientul pentru derivate, îl veți găsi ușor. Dacă termenii x și y sunt înmulțiți, utilizați regula produsului ((f × g) '= f' × g + g × f '), substituind termenul x pentru f și termenul y pentru g. Pe de altă parte, dacă termenii x și y se exclud reciproc, utilizați regula coeficientului ((f / g) '= (g × f' - g '× f) / g²), înlocuind numeratorul cu f și numitorul cu g.

• În exemplul nostru, 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy² = 0, avem un singur termen care are x și y - 2xy². Deoarece x și y sunt înmulțite între ele, vom folosi regula produsului pentru a obține următoarele:

  2xy² = (2x) (y²) - setați 2x = f și y² = g în (f × g) '= f' × g + g × f '

  (f × g) '= (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

  (f × g) '= (2) × (y²) + (2x) × (2y (dy / dx))

  (f × g) '= 2y² + 4xy (dy / dx)

• Adăugând acest lucru la ecuația noastră principală, obținem 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0

Pasul 4. Singur (dy / dx)

Ești aproape gata! Acum, tot ce trebuie să faceți este să rezolvați ecuația (dy / dx). Acest lucru pare dificil, dar de obicei nu este - amintiți-vă că oricare doi termeni a și b sunt înmulțiți cu (dy / dx) pot fi scrise ca (a + b) (dy / dx) din cauza proprietății distributive a multiplicării. Această tactică poate face mai ușoară izolarea (dy / dx) - mutați toți ceilalți termeni de cealaltă parte a parantezelor, apoi împărțiți-i la termenii din paranteze de lângă (dy / dx).

• În exemplul nostru, simplificăm 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0 după cum urmează:

  2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2y + 8 + 4xy)

  (dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

Metoda 2 din 2: Utilizarea tehnicilor avansate

Pasul 1. Introduceți valoarea (x, y) pentru a găsi (dy / dx) pentru orice punct

Sigur! V-ați derivat deja ecuația implicit - nu este o treabă ușoară la prima încercare! Utilizarea acestei ecuații pentru a găsi gradientul (dy / dx) pentru orice punct (x, y) este la fel de ușor ca conectarea valorilor x și y pentru punctul dvs. în partea dreaptă a ecuației, apoi găsirea (dy / dx).

• De exemplu, să presupunem că dorim să găsim gradientul la punctul (3, -4) pentru ecuația noastră de mai sus. Pentru a face acest lucru, vom înlocui 3 cu x și -4 cu y, rezolvând după cum urmează:

  (dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

  (dy / dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy / dx) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4))

  (dy / dx) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))

  (dy / dx) = (-33) / (2 (2 (-12))

  (dy / dx) = (-33) / (- 48) = 3/48, sau 0, 6875.

Pasul 2. Folosiți regula lanțului pentru funcții-în-funcții

Regula lanțului este o piesă importantă de cunoștințe pe care trebuie să o aveți atunci când lucrați la probleme de calcul (inclusiv probleme derivate ale funcției implicite). Regula lanțului afirmă că pentru o funcție F (x) care poate fi scrisă ca (f o g) (x), derivata lui F (x) este egală cu f '(g (x)) g' (x). Pentru problemele derivate ale funcției implicite dificile, aceasta înseamnă că este posibil să se obțină diferitele părți individuale ale ecuației și apoi să se combine rezultatele.

• Ca un exemplu simplu, să presupunem că trebuie să găsim derivata păcatului (3x² + x) ca parte a problemei derivate a funcției implicite mai mari pentru ecuația sin (3x² + x) + y³ = 0. Dacă ne imaginăm păcatul (3x² + x) ca f (x) și 3x² + x ca g (x), putem găsi derivata după cum urmează:

  f '(g (x)) g' (x)

  (păcat (3x² + x)) '× (3x² + x) '

  cos (3x² + x) × (6x + 1)

  (6x + 1) cos (3x² + x)

Pasul 3. Pentru ecuații cu variabilele x, y și z, găsiți (dz / dx) și (dz / dy)

Deși neobișnuite în calculul de bază, unele aplicații avansate pot necesita derivarea funcțiilor implicite a mai mult de două variabile. Pentru fiecare variabilă suplimentară, trebuie să găsiți derivata sa suplimentară în raport cu x. De exemplu, dacă aveți x, y și z, ar trebui să căutați atât (dz / dy), cât și (dz / dx). Putem face acest lucru derivând ecuația cu privire la x de două ori - mai întâi, vom introduce (dz / dx) de fiecare dată când derivăm un termen care conține z și, în al doilea rând, vom introduce (dz / dy) de fiecare dată când derivăm z. După aceasta, este doar o chestiune de rezolvare (dz / dx) și (dz / dy).

• De exemplu, să presupunem că încercăm să derivăm x³z² - 5xy⁵z = x² + y³.

• În primul rând, să derivăm împotriva lui x și să introducem (dz / dx). Nu uitați să aplicați regula produsului dacă este necesar!

  X³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  3x²z² + 2x³z (dz / dx) - 5y⁵z - 5xy⁵(dz / dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5xy⁵) (dz / dx) - 5y⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵) (dz / dx) = 2x - 3x²z² + 5 ani⁵z

  (dz / dx) = (2x - 3x²z² + 5 ani⁵z) / (2x³z - 5xy⁵)

• Acum, faceți același lucru pentru (dz / dy)

  X³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  2x³z (dz / dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz / dy) = 3y²

  (2x³z - 5xy⁵) (dz / dy) = 3y² + 25xy⁴z

  (dz / dy) = (3y² + 25xy⁴z) / (2x³z - 5xy⁵)