Fiecare funcție are două variabile, și anume variabila independentă și variabila dependentă. Literal, valoarea variabilei dependente „depinde” de variabila independentă. De exemplu, în funcția y = f (x) = 2 x + y, x este variabila independentă și y este variabila dependentă (cu alte cuvinte, y este o funcție a lui x). Valorile valide pentru variabila cunoscută x se numesc „domenii de origine”. Valorile valide pentru variabila y cunoscută se numesc „intervalul de rezultate”.
Etapa
Partea 1 din 3: Găsirea domeniului unei funcții
Pasul 1. Decideți ce tip de funcție veți îndeplini
Domeniul funcției este toate valorile x (axa orizontală) care vor returna valorile y valide. Ecuația funcției poate fi o pătratică, o fracție sau poate conține o rădăcină. Pentru a calcula domeniul funcției, primul lucru pe care trebuie să-l faceți este să examinați variabilele din ecuație.
- O funcție pătratică are forma ax2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4
- Exemple de funcții cu fracții includ: f (x) = (1/X), f (x) = (x + 1)/(x - 1), si altii.
- Funcțiile care au rădăcini includ: f (x) = x, f (x) = (x2 + 1), f (x) = -x și așa mai departe.
Pasul 2. Notați domeniul cu notația corectă
Scrierea domeniului unei funcții implică utilizarea parantezelor pătrate [,], precum și a parantezelor (,). Utilizați paranteze pătrate [,] dacă numărul aparține domeniului și utilizați paranteze (,) dacă domeniul nu include numărul. Litera U denotă o uniune care conectează părți ale domeniului care pot fi separate de o distanță.
- De exemplu, domeniul [-2, 10) U (10, 2] include -2 și 2, dar nu include numărul 10.
- Folosiți întotdeauna paranteze () dacă utilizați simbolul infinit,.
Pasul 3. Desenați un grafic al ecuației pătratice
Ecuațiile pătratice produc un grafic parabolic care se deschide în sus sau în jos. Având în vedere că parabola va continua la infinit pe axa x, domeniul majorității ecuațiilor pătratice este toate numerele reale. Altfel spus, o ecuație pătratică include toate valorile x de pe linia numerică, oferind domeniul R (simbol pentru toate numerele reale).
- Pentru a rezolva funcția, alegeți orice valoare x și introduceți-o în funcție. Rezolvarea unei funcții cu o valoare x va aduce o valoare y. Valorile lui x și y sunt coordonatele (x, y) ale unui grafic al funcției.
- Trasați aceste coordonate pe un grafic și repetați procesul cu o altă valoare x.
- Trasarea unor valori din acest model vă va oferi o imagine de ansamblu asupra formei funcției pătratice.
Pasul 4. Dacă ecuația funcției este o fracție, faceți numitorul egal cu zero
Când lucrați cu fracțiuni, nu puteți împărți niciodată la zero. Făcând numitorul egal cu zero și găsind valoarea lui x, puteți calcula valorile de extras din funcție.
- De exemplu: Determinați domeniul funcției f (x) = (x + 1)/(x - 1).
- Numitorul funcției este (x - 1).
- Faceți numitorul egal cu zero și calculați valoarea lui x: x - 1 = 0, x = 1.
- Notați domeniul: domeniul funcției nu include 1, dar include toate numerele reale, cu excepția 1; prin urmare, domeniul este (-∞, 1) U (1,).
- (-∞, 1) U (1,) poate fi citit ca o colecție a tuturor numerelor reale cu excepția 1. Simbolul pentru infinit,, reprezintă toate numerele reale. În acest caz, toate numerele reale mai mari de 1 și mai mici de 1 sunt incluse în domeniu.
Pasul 5. Dacă ecuația este o funcție rădăcină, faceți variabilele rădăcină mai mari sau egale cu zero
Nu puteți folosi rădăcina pătrată a unui număr negativ; prin urmare, orice valoare x care duce la un număr negativ trebuie eliminată din domeniul funcției.
- De exemplu: Găsiți domeniul funcției f (x) = (x + 3).
- Variabilele din rădăcină sunt (x + 3).
- Faceți valoarea mai mare sau egală cu zero: (x + 3) 0.
- Calculați valoarea pentru x: x -3. Rezolvați pentru x: x -3.
- Domeniul funcției include toate numerele reale mai mari sau egale cu -3; prin urmare, domeniul este [-3,).
Partea 2 din 3: Găsirea intervalului unei ecuații pătratice
Pasul 1. Asigurați-vă că aveți o funcție pătratică
Funcția pătratică are forma ax2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4. Graficul funcției pătratice este o parabolă care se deschide în sus sau în jos. Există diferite moduri de a calcula intervalul funcției în funcție de tipul de funcție la care lucrați.
Cel mai simplu mod de a determina gama de alte funcții, cum ar fi o funcție rădăcină sau o funcție fracțională, este reprezentarea grafică a funcției folosind un calculator grafic
Pasul 2. Găsiți valoarea x a vârfului funcției
Vârful unei funcții pătratice este vârful parabolei. Amintiți-vă, forma funcției pătratice este ax2 + bx + c. Pentru a găsi coordonata x utilizați ecuația x = -b / 2a. Ecuația este o derivată a unei funcții pătratice de bază care reprezintă o ecuație cu o pantă / pantă zero (la vârful graficului, gradientul funcției este zero).
- De exemplu, găsiți intervalul de 3x2 + 6x -2.
- Calculați coordonata x a vârfului: x = -b / 2a = -6 / (2 * 3) = -1
Pasul 3. Calculați valoarea y a vârfului funcției
Conectați coordonata x în funcție pentru a calcula valoarea y corespunzătoare a vârfului. Această valoare y indică limita intervalului funcției.
- Calculați coordonata y: y = 3x2 + 6x - 2 = 3 (-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
- Vârful acestei funcții este (-1, -5).
Pasul 4. Determinați direcția parabolei conectând cel puțin încă o valoare x
Alegeți orice altă valoare x și conectați-o la funcție pentru a calcula valoarea y corespunzătoare. Dacă valoarea y este deasupra vârfului, parabola continuă la + ∞. Dacă valoarea y este sub vârf, parabola va continua până la -∞.
- Utilizați valoarea x -2: y = 3x2 + 6x - 2 = y = 3 (-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- Acest calcul returnează coordonatele (-2, -2).
- Aceste coordonate vă arată că parabola continuă deasupra vârfului (-1, -5); prin urmare, intervalul include toate valorile y mai mari de -5.
- Gama acestei funcții este [-5,).
Pasul 5. Notați intervalul cu notația corectă
La fel ca domeniile, intervalele sunt scrise cu aceeași notație. Utilizați paranteze pătrate [,] dacă numărul este în interval și utilizați paranteze (,) dacă intervalul nu include numărul. Litera U indică o uniune care leagă părți ale intervalului care pot fi separate de o distanță.
- De exemplu, intervalul [-2, 10) U (10, 2] include -2 și 2, dar nu include numărul 10.
- Folosiți întotdeauna paranteze dacă utilizați simbolul infinit,.
Partea 3 din 3: Găsirea intervalului din graficul unei funcții
Pasul 1. Desenați funcția
Adesea, cel mai simplu mod de a determina gama unei funcții este reprezentarea grafică a acesteia. Multe funcții de rădăcină au un interval (-∞, 0] sau [0, + ∞) deoarece vârful parabolei orizontale (parabola laterală) este pe axa orizontală x. În acest caz, funcția include toate valorile y pozitive dacă parabola se deschide sau toate valorile y negative dacă parabola se deschide în jos. Funcțiile fracționate vor avea asimptote (linii care nu sunt tăiate niciodată de o linie dreaptă / curbă, dar sunt abordate până la infinit) care definesc intervalul funcției.
- Unele funcții rădăcină vor începe deasupra sau sub axa x. În acest caz, intervalul este determinat de numărul de unde începe funcția rădăcină. Dacă parabola începe de la y = -4 și crește, intervalul este [-4, + ∞).
- Cel mai simplu mod de a desena o funcție este de a utiliza un program grafic sau un calculator grafic.
- Dacă nu aveți un calculator grafic, puteți desena o schiță brută a graficului conectând valoarea x la funcție și obținând valoarea y corespunzătoare. Trasați aceste coordonate pe un grafic pentru a vă face o idee despre cum arată graficul.
Pasul 2. Găsiți valoarea minimă a funcției
Imediat după desenarea funcției, ar trebui să puteți vedea clar punctul cel mai de jos al graficului. Dacă nu există o valoare minimă clară, știți că unele funcții vor continua la -∞ (infinit).
O funcție fracțională va include toate punctele, cu excepția celor de pe asimptote. Funcția are un interval ca (-∞, 6) U (6,)
Pasul 3. Determinați valoarea maximă a funcției
Din nou, după desenarea graficului, ar trebui să puteți identifica punctul maxim al funcției. Unele funcții vor continua la + ∞ și, prin urmare, nu vor avea o valoare minimă.
Pasul 4. Scrieți intervalul cu notația corectă
La fel ca domeniile, intervalele sunt scrise cu aceeași notație. Utilizați paranteze pătrate [,] dacă numărul este în interval și utilizați paranteze (,) dacă intervalul nu include numărul. Litera U indică o uniune care leagă părți ale intervalului care pot fi separate de o distanță.
- De exemplu, intervalul [-2, 10) U (10, 2] include -2 și 2, dar nu include numărul 10.
- Folosiți întotdeauna paranteze dacă utilizați simbolul infinit,.
