3 moduri de a factoriza un Trinomial

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-01-15 08:22

Un trinom este o expresie algebrică formată din trei termeni. Cel mai probabil, veți începe să învățați cum să factorizați un trinom pătratic, adică un trinom scris în forma ax² + bx + c. Există câteva trucuri de învățat, care pot fi utilizate pentru multe tipuri diferite de trinomiale pătratice, dar le veți putea folosi mai bine și mai repede cu practica. Polinoame de ordin superior, cu termeni precum x³ sau x⁴, nu poate fi întotdeauna rezolvat în același mod, dar puteți folosi adesea factoringul simplu sau substituirea pentru a-l transforma într-o problemă care poate fi rezolvată ca orice altă formulă pătratică.

Etapa

Metoda 1 din 3: Factoring x² + bx + c

Pasul 1. Aflați multiplicarea PLDT

Este posibil să fi învățat cum să multiplicați PLDT sau „În primul rând, în afară, în, în urmă” pentru a multiplica expresii precum (x + 2) (x + 4). Este util să știm cum funcționează această multiplicare înainte de a lua în calcul:

• Înmulțiți triburile Primul: (X+2)(X+4) = X² + _

• Înmulțiți triburile In afara: (X+2) (x +

  Pasul 4.) = x²+ 4x + _

• Înmulțiți triburile În: (x +

  Pasul 2.)(X+4) = x²+ 4x + 2x + _

• Înmulțiți triburile Final: (x +

  Pasul 2.)(X

  Pasul 4.) = x²+ 4x + 2x

  Pasul 8.

• Simplificați: x²+ 4x + 2x + 8 = x²+ 6x + 8

Pasul 2. Înțelegeți factorizarea

Când multiplicați doi binomii utilizând metoda PLDT, obțineți un trinom (o expresie cu trei termeni) sub forma a x²+ b x + c, unde a, b și c sunt numere ordinare. Dacă începeți cu o ecuație care are aceeași formă, o puteți descompune în două binomii.

• Dacă ecuațiile nu sunt scrise în această ordine, rearanjați ecuațiile astfel încât să aibă această ordine. De exemplu, rescrieți 3x - 10 + x² Devine X² + 3x - 10.
• Deoarece cea mai mare putere este 2 (x², acest tip de expresie se numește pătratic.

Pasul 3. Lăsați un spațiu gol pentru răspuns sub forma multiplicării PLDT

Deocamdată, scrieți (_ _)(_ _) unde vei scrie răspunsul. O vom umple în timp ce lucrăm la ea

Nu scrieți + sau - între termenii goi pentru că nu știm încă semnul corect

Pasul 4. Completați primii termeni

Pentru probleme simple, primul termen al trinomului dvs. este doar x², termenii din prima poziție sunt întotdeauna X și X. Aceștia sunt factorii termenului x² deoarece x ori x = x².

• Exemplul nostru x² + 3x - 10 începând cu x², astfel încât să putem scrie:
• (x _) (x _)
• Vom lucra la probleme mai complexe în secțiunea următoare, inclusiv trinomii începând cu termeni precum 6x² sau -x². Între timp, urmați aceste exemple de întrebări.

Pasul 5. Folosiți factoringul pentru a ghici ultimii termeni

Dacă vă întoarceți și citiți pașii pentru cum să multiplicați PLDT, veți vedea că înmulțirea ultimilor termeni va produce ultimul termen în polinom (termeni care nu au x). Deci, pentru a lua în calcul, trebuie să găsim două numere care, atunci când sunt multiplicate, vor produce ultimul termen.

• În exemplul nostru x² + 3x - 10, ultimul termen este -10.
• Care sunt factorii lui -10? Ce număr se înmulțește cu -10?
• Există mai multe posibilități: -1 ori 10, 1 ori -10, -2 ori 5 sau 2 ori -5. Scrieți aceste perechi undeva pentru a le aminti.
• Nu ne schimbați încă răspunsul. Răspunsul nostru ar trebui să arate în continuare astfel: (x _) (x _).

Pasul 6. Testați posibilitățile care se potrivesc cu produsul exterior și interior

Am redus ultimii termeni la câteva posibilități. Utilizați sistemul de încercare pentru a testa fiecare posibilitate, înmulțind termenii exterior și interior și comparând produsul cu trinomul nostru. De exemplu:

• Problema noastră inițială avea termenul „x” la 3x, astfel încât rezultatele testelor noastre ar trebui să se potrivească cu acest termen.
• Teste -1 și 10: (x-1) (x + 10). Exterior + Interior = 10x - x = 9x. Gresit.
• Teste 1 și -10: (x + 1) (x-10). -10x + x = -9x. Este gresit. De fapt, dacă testați -1 și 10, veți găsi că 1 și -10 sunt opusul răspunsului de mai sus: -9x în loc de 9x.
• Teste -2 și 5: (x-2) (x + 5). 5x - 2x = 3x. Rezultatul corespunde polinomului inițial, deci iată răspunsul corect: (x-2) (x + 5).
• În cazuri simple ca acesta, dacă nu aveți o constantă în fața termenului x², puteți utiliza modul rapid: doar adăugați cei doi factori și puneți un "x" în spatele acestuia (-2 + 5 → 3x). Cu toate acestea, această metodă nu funcționează pentru probleme mai complexe, deci este mai bine să ne amintim de „drumul lung” descris mai sus.

Metoda 2 din 3: Factorizarea trinomiilor mai complexe

Pasul 1. Folosiți factoringul simplu pentru a simplifica problemele mai complexe

De exemplu, trebuie să țineți cont 3x² + 9x - 30. Găsiți un număr care poate lua în calcul toți cei trei termeni („cel mai mare factor comun” sau MCD). În acest caz, GCF este 3:

• 3x² = (3) (x²)
• 9x = (3) (3x)
• -30 = (3)(-10)
• Astfel, 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+ 3x-10). Putem descifra noul trinomial folosind pașii din secțiunea de mai sus. Răspunsul nostru final va fi (3) (x-2) (x + 5).

Pasul 2. Căutați factori mai complicați

Uneori, factorizarea poate implica o variabilă sau poate fi necesar să luați în calcul mai multe ori pentru a găsi cea mai simplă expresie posibilă. Aici sunt cateva exemple:

• 2x²y + 14xy + 24y = (2 ani)(X² + 7x + 12)
• X⁴ + 11x³ - 26x² = (X²)(X² + 11x - 26)
• -X² + 6x - 9 = (-1)(X² - 6x + 9)
• Nu uitați să refacturați noul trinomial, folosind pașii din Metoda 1. Verificați-vă munca și căutați exemple de probleme similare în întrebările-model din partea de jos a acestei pagini.

Pasul 3. Rezolvați problemele cu un număr din fața lui x².

Unele trinomii pătratice nu pot fi reduse la cel mai ușor tip de problemă. Aflați cum să rezolvați probleme precum 3x² + 10x + 8, apoi exersați pe cont propriu cu exemplele de întrebări din partea de jos a acestei pagini:

• Setați răspunsul nostru să fie: (_ _)(_ _)
• Termenii noștri „Primul” vor avea fiecare câte un x, iar înmulțirea lor dă 3x². Există o singură posibilitate: (3x _) (x _).
• Enumerați factorii de 8. Cotele sunt de 1 ori 8 sau 2 ori 4.
• Testați această posibilitate folosind termenii exterior și interior. Rețineți că ordinea factorilor este foarte importantă deoarece termenul exterior este înmulțit cu 3x în loc de x. Încercați toate posibilitățile până când obțineți Out + In = 10x (din problema inițială):
• (3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x Nu
• (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x Nu
• (3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x Nu
• (3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x da. Acesta este factorul corect.

Pasul 4. Folosiți înlocuirea pentru trinomii de ordin superior

Cartea dvs. de matematică vă poate surprinde cu ecuații cu puteri mari, cum ar fi x⁴, chiar și după ce utilizați factoringul simplu pentru a ușura problema. Încercați să înlocuiți o nouă variabilă care o transformă într-o problemă pe care știți cum să o rezolvați. De exemplu:

• X⁵+ 13x³+ 36x
• = (x) (x⁴+ 13x²+36)
• Să creăm o nouă variabilă. Să spunem y = x² și pune în ea:
• (X y²+ 13 ani + 36)
• = (x) (y + 9) (y + 4). Acum, convertiți-l înapoi la variabila inițială:
• = (x) (x²+9) (x²+4)
• = (x) (x ± 3) (x ± 2)

Metoda 3 din 3: Factorizarea cazurilor speciale

Pasul 1. Găsiți numere prime

Uită-te pentru a vedea dacă constanta din primul sau al treilea termen al trinomului este un număr prim. Un număr prim este divizibil numai prin el însuși și 1, deci există o singură pereche posibilă de factori binomiali.

• De exemplu, în x² + 6x + 5, 5 este un număr prim, deci binomul trebuie să aibă forma (_ 5) (_ 1).
• În problema de 3x²+ 10x + 8, 3 este un număr prim, deci binomul trebuie să aibă forma (3x _) (x _).
• Pentru întrebări de 3 ori²+ 4x + 1, atât 3 cât și 1 sunt numere prime, deci singura soluție posibilă este (3x + 1) (x + 1). (Ar trebui să înmulțiți în continuare acest număr pentru a verifica răspunsul, deoarece unele expresii nu pot fi deloc luate în considerare - de exemplu, 3x²+ 100x + 1 nu are factor.)

Pasul 2. Aflați dacă trinomul este un pătrat perfect

Un trinom pătrat perfect poate fi descompus în două binomii identici, iar factorul este scris de obicei ca (x + 1)² și nu (x + 1) (x + 1). Iată câteva exemple care tind să apară în întrebări:

• X²+ 2x + 1 = (x + 1)²și x²-2x + 1 = (x-1)²
• X²+ 4x + 4 = (x + 2)²și x²-4x + 4 = (x-2)²
• X²+ 6x + 9 = (x + 3)²și x²-6x + 9 = (x-3)²
• Trinom pătrat perfect sub forma a x² + bx + c are întotdeauna termeni a și c care sunt pătrate perfecte pozitive (cum ar fi 1, 4, 9, 16 sau 25) și un termen b (pozitiv sau negativ) care este egal cu 2 (√a * √c).

Pasul 3. Aflați dacă o problemă nu are soluție

Nu toate trinomiile pot fi luate în considerare. Dacă nu puteți factoriza un trinom pătratic (ax²+ bx + c), utilizați formula pătratică pentru a găsi răspunsul. Dacă singurul răspuns este rădăcina pătrată a unui număr negativ, nu există o soluție de număr real, atunci problema nu are factori.

Pentru trinomii care nu sunt pătrate, utilizați criteriul Eisenstein, care este descris în secțiunea Sfaturi

Răspunsuri și exemple de întrebări

1. Răspunsuri la întrebări de „factoring complicat”.

   Acestea sunt întrebări de la pasul „factori mai complicați”. Am simplificat problemele în unele mai ușoare, așa că încercați să le rezolvați folosind pașii din metoda 1, apoi verificați-vă munca aici:

   • (2y) (x² + 7x + 12) = (x + 3) (x + 4)
   • (X²)(X² + 11x - 26) = (x + 13) (x-2)
   • (-1) (x² - 6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²

2. Încercați probleme de factoring mai complexe.

   Aceste probleme au același factor în fiecare termen, care trebuie luat în considerare mai întâi. Blocați spațiile libere după semnul egal pentru a vedea răspunsurile, astfel încât să puteți verifica munca:

   • 3x³+ 3x²-6x = (3x) (x + 2) (x-1) blocați golul pentru a vedea răspunsul
   • -5x³y²+ 30x²y²-25 de ani²x = (-5xy ^ 2) (x-5) (x-1)

3. Exersează folosirea întrebărilor. Aceste probleme nu pot fi luate în considerare în ecuații mai ușoare, așa că va trebui să găsiți răspunsul în forma (_x + _) (_ x + _) folosind încercări și erori:

   • 2x²+ 3x-5 = (2x + 5) (x-1) bloc pentru a vedea răspunsul
   • 9x²+ 6x + 1 = (3x + 1) (3x + 1) = (3x + 1)² (Sugestie: poate doriți să încercați mai mult de o pereche de factori pentru 9x.)

   sfaturi

   • Dacă nu vă dați seama cum să factorizați un trinom pătratic (ax²+ bx + c), puteți utiliza formula pătratică pentru a găsi x.

   • Deși nu trebuie să știți cum să faceți acest lucru, puteți utiliza criteriile Eisenstein pentru a determina rapid dacă un polinom nu poate fi simplificat și luat în considerare. Acest criteriu se aplică oricărui polinom, dar este cel mai bine utilizat pentru trinomii. Dacă există un număr prim p care împarte ultimii doi termeni în mod egal și îndeplinește următoarele condiții, atunci polinomul nu poate fi simplificat:

     • Termenii constanți (fără variabile) sunt multipli ai lui p dar nu multipli ai lui p².
     • Prefixul (de exemplu, a in ax²+ bx + c) nu este multiplu al lui p.
     • De exemplu, 14x² + 45x +51 nu poate fi simplificat deoarece există un număr prim (3) care poate fi divizibil atât cu 45 cât și cu 51, dar nu divizibil cu 14, iar 51 nu este divizibil cu 3².

   Avertizare

   Deși acest lucru este valabil pentru trinomii pătratice, trinomul care poate fi luat în considerare nu este neapărat produsul a doi binomi. De exemplu, x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).