3 moduri de a factoriza ecuațiile algebrice

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-01-15 08:22

În matematică, factoring este o modalitate de a găsi numere sau expresii care atunci când este multiplicată va produce un număr sau o ecuație dată. Factoringul este o abilitate utilă pentru a învăța să rezolve probleme simple de algebră; capacitatea de a factoriza bine, devine importantă atunci când avem de-a face cu ecuații pătratice și alte forme de polinoame. Factorizarea poate fi utilizată pentru a simplifica expresiile algebrice pentru a le facilita soluțiile. Factorizarea îți poate oferi chiar posibilitatea de a elimina anumite posibile răspunsuri, mult mai rapid decât să le rezolvi manual.

Etapa

Metoda 1 din 3: Factorizarea numerelor și expresii algebrice simple

Pasul 1. Înțelegeți definiția factoringului atunci când este aplicat la numere unice

Factoringul este un concept simplu, dar, în practică, poate fi o provocare atunci când este aplicat ecuațiilor complexe. Prin urmare, este cel mai ușor să abordați conceptul de factoring începând cu numere simple, apoi trecând la ecuații simple, înainte de a trece în cele din urmă la aplicații mai complexe. Factorii unui număr sunt numere care atunci când sunt înmulțite produc numărul. De exemplu, factorii 12 sunt 1, 12, 2, 6, 3 și 4, deoarece 1 × 12, 2 × 6 și 3 × 4 sunt egali cu 12.

• O altă modalitate de gândire este că factorii unui număr sunt numere care se pot împărți în mod egal în număr.

• Puteți găsi toți factorii numărului 60? Folosim numărul 60 în diferite scopuri (minute într-o oră, secunde într-un minut etc.) deoarece poate fi divizibil cu o mulțime de alte numere.

  Factorii de 60 sunt 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 și 60

Pasul 2. Înțelegeți că expresiile variabile pot fi, de asemenea, luate în considerare

Așa cum numerele în sine pot fi luate în considerare, variabilele cu coeficienți de număr pot fi, de asemenea, luate în considerare. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să găsiți factorii coeficienților variabili. Știind cum să factorizezi o variabilă este foarte util pentru simplificarea ecuațiilor algebrice care implică acea variabilă.

• De exemplu, variabila 12x poate fi scrisă ca produs al factorilor 12 și x. Putem scrie 12x ca 3 (4x), 2 (6x) etc., utilizând factorii de 12 care funcționează cel mai bine în scopurile noastre.

  Putem chiar factoriza de 12 ori de mai multe ori. Cu alte cuvinte, nu trebuie să ne oprim la 3 (4x) sau 2 (6x) - putem factoriza 4x și 6x pentru a produce 3 (2 (2x) și 2 (3 (2x). Desigur, aceste două expresii sunt echivalente

Pasul 3. Aplicați proprietatea distributivă a multiplicării la ecuațiile algebrice ale factorilor

Folosind cunoștințele dvs. despre cum să factorizați atât numerele unice, cât și variabilele cu coeficienți, puteți simplifica ecuațiile algebrice simple prin găsirea factorilor pe care numerele și variabilele le împărtășesc în ecuațiile algebrice. De obicei, pentru a simplifica o ecuație, încercăm să găsim cel mai mare factor comun. Acest proces de simplificare este posibil datorită proprietății distributive a multiplicării, care se aplică oricărui număr a, b și c. a (b + c) = ab + ac.

• Să încercăm un exemplu de întrebare. Pentru a factoriza ecuația algebrică 12x + 6, mai întâi, să încercăm să găsim cel mai mare factor comun de 12x și 6. 6 este cel mai mare număr care poate împărți în mod egal 12x și 6, deci putem simplifica ecuația la 6 (2x + 1).
• Acest proces se aplică și ecuațiilor cu numere și fracții negative. De exemplu, x / 2 + 4, poate fi simplificat la 1/2 (x + 8), iar -7x + -21 poate fi calculat la -7 (x + 3).

Metoda 2 din 3: Factorizarea ecuațiilor pătratice

Pasul 1. Asigurați-vă că ecuația este în formă pătratică (ax² + bx + c = 0).

Ecuațiile pătratice au forma ax² + bx + c = 0, unde a, b și c sunt constante de număr și nu sunt egale cu 0 (rețineți că a poate fi egal cu 1 sau -1). Dacă aveți o ecuație care are o variabilă (x) care are un termen x la puterea a doi sau mai mulți, de obicei mutați acești termeni în ecuație folosind operații algebrice simple pentru a obține 0 de fiecare parte a semnului egal și ax², etc. de cealaltă parte.

• De exemplu, să ne gândim la o ecuație algebrică. 5x² + 7x - 9 = 4x² + x - 18 poate fi simplificat la x² + 6x + 9 = 0, care este forma pătrată.
• Ecuații cu puterea mai mare a lui x, cum ar fi x³, X⁴, etc. nu sunt ecuații pătratice. Aceste ecuații sunt ecuații cubice, la a patra putere și așa mai departe, cu excepția cazului în care ecuația poate fi simplificată pentru a elimina acești termeni x cu puteri mai mari de 2.

Pasul 2. Într-o ecuație pătratică, unde a = 1, calculați în (x + d) (x + e), unde d × e = c și d + e = b

Dacă ecuația dvs. pătratică are forma x² + bx + c = 0 (cu alte cuvinte, dacă coeficientul termenului x² = 1), este posibil (dar nu este garantat) ca o metodă de scurtare destul de ușoară să poată fi utilizată pentru a lua în calcul ecuația. Găsiți două numere care atunci când sunt înmulțite dau c și adăugat pentru a produce b. După ce ați căutat aceste două numere d și e, puneți-le în următoarea expresie: (x + d) (x + e). Acești doi termeni, atunci când sunt înmulțiți, vă oferă ecuația pătratică - cu alte cuvinte, aceștia sunt factorii ecuației dvs. pătratică.

• De exemplu, să ne gândim la ecuația pătratică x² + 5x + 6 = 0. 3 și 2 sunt înmulțiți pentru a da 6 și, de asemenea, adăugați pentru a da 5, deci putem simplifica această ecuație la (x + 3) (x + 2).

• O ușoară diferență în această metodă de stenografie de bază constă în diferențele în similitudini în sine:

  • Dacă ecuația pătratică are forma x²-bx + c, răspunsul dvs. este în această formă: (x - _) (x - _).
  • Dacă ecuația are forma x²+ bx + c, răspunsul dvs. arată astfel: (x + _) (x + _).
  • Dacă ecuația are forma x²-bx-c, răspunsul dvs. este în forma (x + _) (x - _).
• Notă: numerele din spațiile goale pot fi fracții sau zecimale. De exemplu, ecuația x² + (21/2) x + 5 = 0 este inclus în (x + 10) (x + 1/2).

Pasul 3. Dacă este posibil, țineți cont de verificări

Credeți sau nu, pentru ecuațiile pătratice necomplicate, una dintre metodele de factoring permise este examinarea problemei, apoi luarea în considerare a răspunsurilor posibile până când veți găsi răspunsul corect. Această metodă este, de asemenea, cunoscută sub numele de factoring prin examinare. Dacă ecuația este în forma ax²+ bx + c și a> 1, răspunsul dvs. la factor este în forma (dx +/- _) (ex +/- _), unde d și e sunt constante ale numerelor diferite de zero, care atunci când sunt multiplicate dau a. Nici d, nici e (sau ambele) nu pot fi 1, deși nu trebuie să fie. Dacă ambele sunt 1, folosiți practic metoda de scurtare descrisă mai sus.

Să ne gândim la un exemplu de problemă. 3x² - 8x + 4 pare dificil la început. Cu toate acestea, odată ce ne dăm seama că 3 are doar doi factori (3 și 1), această ecuație devine mai ușoară, deoarece știm că răspunsul nostru trebuie să aibă forma (3x +/- _) (x +/- _). În acest caz, adăugarea -2 la ambele spații goale oferă răspunsul corect. -2 × 3x = -6x și -2 × x = -2x. -6x și -2x însumează -8x. -2 × -2 = 4, deci putem vedea că termenii facturați între paranteze atunci când sunt înmulțiți produc ecuația originală.

Pasul 4. Rezolvați completând pătratul

În unele cazuri, ecuațiile pătratice pot fi luate în considerare rapid și ușor folosind identități algebrice speciale. Orice ecuație pătratică sub forma x² + 2xh + h² = (x + h)². Deci, dacă în ecuația dvs. valoarea dvs. b este de două ori rădăcina pătrată a valorii dvs. c, ecuația dvs. poate fi luată în considerare la (x + (rădăcină (c)))².

De exemplu, ecuația x² + 6x + 9 are această formă. 3² este 9 și 3 × 2 este 6. Deci, știm că forma factorului acestei ecuații este (x + 3) (x + 3) sau (x + 3)².

Pasul 5. Folosiți factori pentru a rezolva ecuațiile pătratice

Indiferent de modul în care ți-ai luat în calcul ecuația pătratică, odată luată în calcul ecuația, poți găsi răspunsuri posibile la valoarea lui x făcând fiecare factor egal cu zero și rezolvându-le. Deoarece căutați valoarea lui x care face ca ecuația dvs. să fie egală cu zero, valoarea lui x care face ca orice factor să fie egal cu zero este un posibil răspuns la ecuația dvs. pătratică.

Să ne întoarcem la ecuația x² + 5x + 6 = 0. Această ecuație este luată în calcul (x + 3) (x + 2) = 0. Dacă oricare dintre factori este egal cu 0, toate ecuațiile sunt egale cu 0, deci răspunsurile noastre posibile pentru x sunt numere - un număr care face (x + 3) și (x + 2) egală cu 0. Aceste numere sunt -3 și, respectiv, -2.

Pasul 6. Verificați răspunsurile - unele dintre răspunsuri pot fi înșelătoare

Când găsiți răspunsuri posibile pentru x, conectați-le din nou la ecuația inițială pentru a vedea dacă răspunsul este corect. Uneori, răspunsurile pe care le găsiți nu fac ecuația originală egală cu zero atunci când sunt reintroduse. Numim acest răspuns deviant și îl ignorăm.

• Să punem -2 și -3 în x² + 5x + 6 = 0. În primul rând, -2:

  • (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0. Acest răspuns este corect, deci -2 este răspunsul corect.

• Acum, să încercăm -3:

  • (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 + 6 = 0
  • 0 = 0. Și acest răspuns este corect, deci -3 este răspunsul corect.

Metoda 3 din 3: Factorizarea altor ecuații

Pasul 1. Dacă ecuația este exprimată sub forma a²-b², factor în (a + b) (a-b).

Ecuațiile cu două variabile au factori diferiți decât ecuația pătratică de bază. Pentru ecuația a²-b² orice în cazul în care a și b nu sunt egale cu 0, factorii ecuației sunt (a + b) (a-b).

De exemplu, ecuația 9x² - 4 ani² = (3x + 2y) (3x - 2y).

Pasul 2. Dacă ecuația este exprimată sub forma a²+ 2ab + b², factor în (a + b)².

Rețineți că, dacă trinomul este de forma a²-2ab + b², factorii de formă sunt ușor diferiți: (a-b)².

4x. Ecuație² + 8xy + 4y² poate fi rescris ca 4x² + (2 × 2 × 2) xy + 4y². Acum, putem vedea că forma este corectă, deci putem fi siguri că factorii ecuației noastre sunt (2x + 2y)²

Pasul 3. Dacă ecuația este exprimată sub forma a³-b³, factor în (a-b) (a²+ ab + b²).

În cele din urmă, sa menționat deja că ecuațiile cubice și chiar și puterile superioare pot fi luate în considerare, deși procesul de factorizare devine rapid foarte complicat.

De exemplu, 8x³ - 27 de ani³ luate în considerare în (2x - 3y) (4x² + ((2x) (3y)) + 9y²)

sfaturi

• A²-b² poate fi luat în calcul, a²+ b² nu poate fi luat în calcul.
• Amintiți-vă cum să luați în calcul o constantă. Acest lucru ar putea ajuta.
• Aveți grijă cu fracțiile în procesul de factoring și lucrați cu fracțiile corect și cu atenție.
• Dacă aveți un trinom de forma x²+ bx + (b / 2)², factorul de formă este (x + (b / 2))². (Puteți întâlni această situație când completați pătratul.)
• Amintiți-vă că a0 = 0 (proprietatea produsului zero).