Un polinom conține o variabilă (x) cu o putere, cunoscută sub numele de grad, și mai mulți termeni și / sau constante. A factoriza un polinom înseamnă a sparge ecuația în ecuații mai simple care pot fi înmulțite. Această abilitate este în Algebra 1 și în sus și poate fi dificil de înțeles dacă abilitățile dvs. de matematică nu sunt la acest nivel.
Etapa
start
Pasul 1. Configurați-vă ecuația
Formatul standard pentru o ecuație pătratică este:
topor2 + bx + c = 0
Începeți prin a comanda termenii din ecuația dvs. de la cea mai mare la cea mai mică putere, la fel ca în acest format standard. De exemplu:
6 + 6x2 + 13x = 0
Vom reordona această ecuație, astfel încât să fie mai ușor de lucrat, mutând pur și simplu termenii:
6x2 + 13x + 6 = 0
Pasul 2. Găsiți factorul de formă utilizând una dintre următoarele metode
Factorizarea polinomului rezultă în două ecuații mai simple care pot fi înmulțite pentru a produce polinomul original:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
În acest exemplu, (2x + 3) și (3x + 2) sunt factorii ecuației inițiale, 6x2 + 13x + 6.
Pasul 3. Verifică-ți munca
Înmulțiți factorii pe care îi aveți. Apoi, combinați termeni similari și ați terminat. Începe cu:
(2x + 3) (3x + 2)
Să încercăm, înmulțim termenii folosind PLDT (primul - exterior - interior - ultimul), rezultând:
6x2 + 4x + 9x + 6
De aici, putem adăuga 4x și 9x deoarece sunt ca niște termeni. Știm că factorii noștri sunt corecți, deoarece obținem ecuația noastră originală:
6x2 + 13x + 6
Metoda 1 din 6: Încercare și eroare
Dacă aveți un polinom destul de simplu, ați putea găsi singur factorii doar privindu-i. De exemplu, după practică, mulți matematicieni își pot da seama că ecuația 4x2 + 4x + 1 are un factor de (2x + 1) și (2x + 1) doar privindu-l des. (Acest lucru, desigur, nu va fi ușor pentru polinoame mai complicate). Pentru acest exemplu, să folosim o ecuație mai puțin utilizată:
3x2 + 2x - 8
Pasul 1. Scrieți o listă a factorilor termenului a și termenului c
Folosind formatul ecuației toporului2 + bx + c = 0, identificați termenii a și c și notați factorii pe care îi au ambii termeni. Pentru 3x2 + 2x - 8, adică:
a = 3 și are un set de factori: 1 * 3
c = -8 și are patru seturi de factori: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 și -1 * 8.
Pasul 2. Notați două seturi de paranteze cu spații goale
Veți completa spațiile libere create cu constante pentru fiecare ecuație:
(x) (x)
Pasul 3. Completați spațiile libere din fața lui x cu posibilele perechi de factori pentru valoarea lui a
Pentru termenul a din exemplul nostru, 3x2, există o singură posibilitate pentru exemplul nostru:
(3x) (1x)
Pasul 4. Completați cele două spații libere după x cu perechi de factori pentru constantă
Să presupunem că alegem 8 și 1. Scrieți în ele:
(3x
Pasul 8.)(
Pasul 1
Pasul 5. Determinați semnul (plus sau minus) între variabila x și numărul
În funcție de semnele din ecuația originală, poate fi posibil să căutați semne pentru constante. Să presupunem că numim cele două constante h și k pentru cei doi factori ai noștri:
Dacă topor2 + bx + c apoi (x + h) (x + k)
Dacă topor2 - bx - c sau topor2 + bx - c apoi (x - h) (x + k)
Dacă topor2 - bx + c apoi (x - h) (x - k)
Pentru exemplul nostru, 3x2 + 2x - 8, semnele sunt: (x - h) (x + k), oferindu-ne doi factori:
(3x + 8) și (x - 1)
Pasul 6. Testează-ți alegerile folosind multiplicarea primul-în-ultimul (PLDT)
Primul test rapid este să vedem dacă termenul mediu are cel puțin valoarea corectă. Dacă nu, este posibil să fi ales greșit factorii c. Să testăm răspunsul nostru:
(3x + 8) (x - 1)
Prin multiplicare, obținem:
3x2 - 3x + 8x - 8
Simplificând această ecuație prin adăugarea termenilor similari (-3x) și (8x), obținem:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Acum știm că trebuie să fi folosit factori greșiți:
3x2 + 5x - 8 3x2 + 2x - 8
Pasul 7. Schimbați selecția, dacă este necesar
În exemplul nostru, să încercăm 2 și 4 în loc de 1 și 8:
(3x + 2) (x - 4)
Acum termenul nostru c este -8, dar produsul nostru exterior / interior (3x * -4) și (2 * x) este -12x și 2x, care combinate nu vor produce termenul corect b + 2x.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
Pasul 8. Reverse ordinea, dacă este necesar
Să încercăm să schimbăm 2 și 4:
(3x + 4) (x - 2)
Acum, termenul nostru c (4 * 2 = 8) este corect, dar produsul exterior / interior este -6x și 4x. Dacă le combinăm:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Suntem aproape de 2x pe care îi căutăm, dar semnul este greșit.
Pasul 9. Verificați din nou etichetele, dacă este necesar
Vom folosi aceeași ordine, dar schimbăm ecuațiile care au semnul minus:
(3x - 4) (x + 2)
Acum termenul c nu este o problemă, iar produsul exterior / interior curent este (6x) și (-4x). Pentru că:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Acum putem folosi 2x pozitive din problema inițială. Aceștia trebuie să fie factorii corecți.
Metoda 2 din 6: Descompunerea
Această metodă va identifica toți factorii posibili ai termenilor a și c și îi va utiliza pentru a găsi factorii corecți. Dacă numerele sunt prea mari sau presupunerea pare consumatoare de timp, utilizați această metodă. Să folosim un exemplu:
6x2 + 13x + 6
Pasul 1. Înmulțiți termenul a cu termenul c
În acest exemplu, a este 6 și c este, de asemenea, 6.
6 * 6 = 36
Pasul 2. Obțineți termenul b prin factorizare și testare
Căutăm două numere care sunt factori ai produsului a * c pe care i-am identificat și, de asemenea, se adaugă la termenul b (13).
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Pasul 3. Înlocuiți cele două numere pe care le obțineți în ecuația dvs. ca rezultat al adăugării termenului b
Să folosim k și h pentru a reprezenta cele două numere pe care le avem, 4 și 9:
topor2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
Pasul 4. Factorizați polinomul prin grupare
Aranjați ecuațiile astfel încât să puteți lua cel mai mare factor comun atât din primul, cât și din al doilea termen. Grupul de factori trebuie să fie același. Adăugați cel mai mare factor comun și plasați-l între paranteze lângă grupul de factori; rezultatul sunt cei doi factori:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
Metoda 3 din 6: Triple Play
Similar metodei de descompunere, metoda triplului joc examinează factorii posibili ai înmulțirii termenilor a și c și utilizării valorii lui b. Încercați să utilizați acest exemplu de ecuație:
8x2 + 10x + 2
Pasul 1. Înmulțiți termenul a cu termenul c
La fel ca metoda de analiză, acest lucru ne va ajuta să identificăm candidații pentru termenul b. În acest exemplu, a este 8 și c este 2.
8 * 2 = 16
Pasul 2. Găsiți două numere care, atunci când sunt înmulțite cu numere, produc acest număr cu o sumă totală egală cu termenul b
Acest pas este același cu analiza - testăm și eliminăm candidații pentru constantă. Produsul termenilor a și c este 16, iar termenul c este 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Pasul 3. Luați aceste două numere și testați-le conectându-le la formula triple play
Luați cele două numere de la pasul anterior - să le numim h și k - și conectați-le la ecuație:
((ax + h) (ax + k)) / a
Vom primi:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Pasul 4. Observați dacă oricare dintre cei doi termeni din numărător sunt divizibili cu a
În acest exemplu, am văzut dacă (8x + 8) sau (8x + 2) este divizibil cu 8. (8x + 8) este divizibil cu 8, deci vom împărți acest termen cu a și vom lăsa în pace ceilalți factori.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
Termenul dintre paranteze este cel care a rămas după ce ne împărțim la termenul a.
Pasul 5. Luați cel mai mare factor comun (GCF) dintre unul sau ambii termeni, dacă există
În acest exemplu, cel de-al doilea termen are un MCD de 2, deoarece 8x + 2 = 2 (4x + 1). Combinați acest rezultat cu termenul obținut de la pasul anterior. Aceștia sunt factorii din ecuația dvs.
2 (x + 1) (4x + 1)
Metoda 4 din 6: Diferența rădăcinilor pătrate
Unii coeficienți din polinoame pot fi „pătrate” sau produsul a două numere. Identificarea acestor pătrate vă permite să factorizați mai multe polinoame mai rapid. Încercați această ecuație:
27x2 - 12 = 0
Pasul 1. Scoateți cel mai mare factor comun, dacă este posibil
În acest caz, putem vedea că 27 și 12 sunt divizibile cu 3, deci obținem:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
Pasul 2. Identificați dacă coeficienții ecuației dvs. sunt numere pătrate
Pentru a utiliza această metodă, trebuie să puteți lua rădăcina pătrată a ambilor termeni. (Rețineți că vom ignora semnul negativ - deoarece aceste numere sunt pătrate pot fi produsul a două numere pozitive sau negative)
9x2 = 3x * 3x și 4 = 2 * 2
Pasul 3. Folosind rădăcina pătrată obținută, scrieți factorii
Vom lua valorile lui a și c din pasul nostru de mai sus - a = 9 și c = 4, apoi vom găsi rădăcina pătrată - a = 3 și c = 2. Rezultatul este coeficientul ecuației factorului:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Metoda 5 din 6: Formula quadratică
Dacă orice altceva eșuează și ecuația nu poate fi luată în considerare întreagă, utilizați formula pătratică. Încercați acest exemplu:
X2 + 4x + 1 = 0
Pasul 1. Introduceți valorile necesare în formula pătratică:
x = -b ± (b2 - 4ac)
2a
Obținem ecuația:
x = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
Pasul 2. Găsiți valoarea lui x
Veți obține două valori. După cum se arată mai sus, primim două răspunsuri:
x = -2 + (3) sau x = -2 - (3)
Pasul 3. Folosiți valoarea x pentru a găsi factorii
Conectați valorile x pe care le-ați obținut în cele două ecuații polinomiale ca constante. Rezultatul este factorii dumneavoastră. Dacă numim răspunsurile noastre h și k, notăm cei doi factori după cum urmează:
(x - h) (x - k)
În acest exemplu, răspunsul nostru final este:
(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))
Metoda 6 din 6: Utilizarea calculatorului
Dacă aveți voie să utilizați un calculator, un calculator grafic face procesul de factoring mult mai ușor, în special pentru testele standardizate. Aceste instrucțiuni sunt pentru calculatorul grafic TI. Vom folosi un exemplu de ecuație:
y = x2 x 2
Pasul 1. Introduceți ecuația în calculator
Veți folosi factorizarea ecuației, care este scrisă [Y =] pe ecran.
Pasul 2. Graficați ecuația folosind calculatorul
După ce ați introdus ecuația, apăsați [GRAPH] - veți vedea o curbă lină care reprezintă ecuația dvs. (iar forma este o curbă, deoarece folosim polinoame).
Pasul 3. Găsiți locația în care curba se intersectează cu axa x
Deoarece ecuațiile polinomiale sunt de obicei scrise ca ax2 + bx + c = 0, această intersecție este a doua valoare a lui x care determină ecuația să fie zero:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Dacă nu puteți identifica unde se intersectează graficul cu axa x uitându-se la el, apăsați [2nd] și apoi [TRACE]. Apăsați [2] sau selectați zero. Deplasați cursorul la stânga intersecției și apăsați [ENTER]. Deplasați cursorul la dreapta intersecției și apăsați [ENTER]. Mutați cursorul cât mai aproape de intersecție și apăsați [ENTER]. Calculatorul va găsi valoarea lui x. Faceți acest lucru și pentru celelalte intersecții
Pasul 4. Conectați valoarea x obținută din pasul anterior în cele două ecuații factoriale
Dacă am numi ambele noastre valori x h și k, ecuațiile pe care le-am folosi ar fi:
(x - h) (x - k) = 0
Astfel, cei doi factori ai noștri sunt:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
sfaturi
- Dacă aveți un calculator TI-84 (grafic), există un program numit SOLVER care vă va rezolva ecuațiile pătratice. Acest program va rezolva polinoame de orice grad.
- Dacă un termen nu este scris, coeficientul este 0. Este util să rescrieți ecuația dacă acesta este cazul, de exemplu: x2 + 6 = x2 + 0x + 6.
- Dacă ați luat în calcul polinomul dvs. utilizând o formulă pătratică și ați obținut răspunsul în termeni de rădăcini, poate doriți să convertiți valoarea lui x într-o fracție de verificat.
- Dacă un termen nu are coeficient scris, coeficientul este 1, de exemplu: x2 = 1x2.
- După suficientă practică, veți putea în cele din urmă să vă factorizați polinoamele în cap. Până când o puteți face, asigurați-vă că scrieți întotdeauna instrucțiunile.
