Într-un „sistem de ecuații”, vi se cere să rezolvați simultan două sau mai multe ecuații. Când cele două ecuații au două variabile diferite, de exemplu x și y, soluția poate părea dificilă la început. Din fericire, odată ce știi ce trebuie să faci, poți folosi pur și simplu abilitățile tale algebrice (și știința calculării fracțiilor) pentru a rezolva problema. Aflați, de asemenea, cum să desenați aceste două ecuații dacă sunteți un elev vizual sau dacă sunteți solicitat de profesor. Desenele vă vor ajuta să identificați subiectul sau să verificați rezultatele muncii dvs. Cu toate acestea, această metodă este mai lentă decât celelalte metode și nu poate fi utilizată pentru toate sistemele de ecuații.
Etapa
Metoda 1 din 3: Utilizarea metodei de substituție
Pasul 1. Mutați variabilele în partea opusă a ecuației
Metoda de substituție începe prin „găsirea valorii lui x” (sau a oricărei alte variabile) într-una dintre ecuații. De exemplu, să spunem că ecuația problemei este 4x + 2y = 8 și 5x + 3y = 9. Începeți prin a lucra la prima ecuație. Rearanjați ecuația scăzând 2y pe ambele părți. Astfel, veți obține 4x = 8 - 2y.
Această metodă folosește adesea fracții la sfârșit. Dacă nu vă place să numărați fracțiile, încercați metoda de eliminare de mai jos
Pasul 2. Împarte ambele părți ale ecuației pentru a „găsi valoarea lui x”
Odată ce termenul x (sau orice variabilă pe care o utilizați) este singur pe o parte a ecuației, împărțiți ambele părți ale ecuației la coeficienți, astfel încât să rămână doar variabila. Ca exemplu:
- 4x = 8 - 2y
- (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
- x = 2 - y
Pasul 3. Conectați valoarea x din prima ecuație în a doua ecuație
Asigurați-vă că îl conectați la a doua ecuație, în loc de cea pe care tocmai ați lucrat-o. Înlocuiți (înlocuiți) variabila x în a doua ecuație. Astfel, a doua ecuație are acum o singură variabilă. Ca exemplu:
- Este cunoscut x = 2 - y.
- A doua ecuație este 5x + 3y = 9.
- După schimbarea variabilei x în a doua ecuație cu valoarea x din prima ecuație, obținem „2 - y”: 5 (2 - y) + 3y = 9.
Pasul 4. Rezolvați variabilele rămase
Acum, ecuația dvs. are o singură variabilă. Calculați ecuația cu operații algebrice obișnuite pentru a găsi valoarea variabilei. Dacă cele două variabile se anulează reciproc, treceți direct la ultimul pas. În caz contrar, veți obține o valoare pentru una dintre variabile:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Dacă nu înțelegeți acest pas, aflați cum să adăugați fracții.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Pasul 5. Folosiți răspunsul obținut pentru a găsi adevărata valoare a lui x în prima ecuație
Nu vă opriți încă, deoarece calculele dvs. nu sunt încă făcute. Trebuie să conectați răspunsul obținut în prima ecuație pentru a găsi valoarea variabilelor rămase:
- Este cunoscut y = -2
- Una dintre ecuațiile din prima ecuație este 4x + 2y = 8. (Puteți utiliza oricare dintre ele.)
- Înlocuiți variabila y cu -2: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Pasul 6. Știți ce să faceți dacă cele două variabile se anulează reciproc
Când intri x = 3y + 2 sau un răspuns similar celui de-a doua ecuație, ceea ce înseamnă că încercați să obțineți o ecuație care are o singură variabilă. Uneori, obții doar ecuația fără variabil. Verifică-ți de două ori munca și asigură-te că ai pus (reordonat) ecuația unu în ecuația doi, în loc să te întorci la prima ecuație. Când sunteți sigur că nu ați făcut nimic greșit, scrieți unul dintre următoarele rezultate:
- Dacă ecuația nu are variabile și nu este adevărată (de exemplu, 3 = 5), această problemă n-am niciun răspuns. (Când aceasta este reprezentată grafic, aceste două ecuații sunt paralele și nu se întâlnesc niciodată.)
- Dacă ecuația nu are variabile și Corect, (de ex. 3 = 3), ceea ce înseamnă că întrebarea are răspunsuri nelimitate. Ecuația unu este exact aceeași cu ecuația doi. (Când sunt reprezentate grafic, aceste două ecuații sunt aceeași linie.)
Metoda 2 din 3: Utilizarea metodei de eliminare
Pasul 1. Găsiți variabilele care se exclud reciproc
Uneori, ecuația din problemă este deja anulați-vă reciproc când se adaugă. De exemplu, dacă faceți ecuația 3x + 2y = 11 și 5x - 2y = 13, termenii „+ 2y” și „-2y” se vor anula reciproc și vor elimina variabila „y” din ecuație. Uitați-vă la ecuația din problemă și vedeți dacă există variabile care se anulează reciproc, ca în exemplu. Dacă nu, continuați cu pasul următor.
Pasul 2. Înmulțiți ecuația cu una astfel încât o variabilă să fie eliminată
(Omiteți acest pas dacă variabilele deja se anulează reciproc.) Dacă ecuația nu are variabile care se anulează singure, schimbați una dintre ecuații, astfel încât să se poată anula reciproc. Aruncați o privire la următoarele exemple pentru a le putea înțelege cu ușurință:
- Ecuațiile din problemă sunt 3x - y = 3 și - x + 2y = 4.
- Să schimbăm prima ecuație astfel încât variabila y anulați-vă reciproc. (Puteți utiliza variabila X. Răspunsul final obținut va fi același.)
- Variabil - da în prima ecuație trebuie eliminată de + 2 ani în a doua ecuație. Cum, multiplicați-vă - da cu 2.
- Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2, după cum urmează: 2 (3x - y) = 2 (3), asa de 6x - 2y = 6. Acum, trib - 2 ani se vor anula reciproc cu + 2 ani în a doua ecuație.
Pasul 3. Combinați cele două ecuații
Trucul este să adăugați partea dreaptă a primei ecuații la partea dreaptă a celei de-a doua ecuații și să adăugați partea stângă a primei ecuații la partea stângă a celei de-a doua ecuații. Dacă este făcut corect, una dintre variabile se va anula reciproc. Să încercăm să continuăm calculul din exemplul anterior:
- Cele două ecuații sunt 6x - 2y = 6 și - x + 2y = 4.
- Adăugați laturile stângi ale celor două ecuații: 6x - 2y - x + 2y =?
- Adăugați laturile drepte ale celor două ecuații: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Pasul 4. Obțineți ultima valoare variabilă
Simplificați ecuația compusă și lucrați cu algebra standard pentru a obține valoarea ultimei variabile. Dacă, după simplificare, ecuația nu are variabile, continuați cu ultimul pas din această secțiune.
În caz contrar, veți obține o valoare pentru una dintre variabile. Ca exemplu:
- Este cunoscut 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Variabile de grup X și y împreună: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Simplificați ecuația: 5x = 10
- Găsiți valoarea x: (5x) / 5 = 10/5, a obtine x = 2.
Pasul 5. Găsiți valoarea unei alte variabile
Ați găsit valoarea unei variabile, dar ce-i cu cealaltă? Conectați răspunsul la una dintre ecuații pentru a găsi valoarea variabilei rămase. Ca exemplu:
- Este cunoscut x = 2, iar una dintre ecuațiile din problemă este 3x - y = 3.
- Înlocuiți variabila x cu 2: 3 (2) - y = 3.
- Găsiți valoarea lui y în ecuație: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, asa de 6 = 3 + y
- 3 = y
Pasul 6. Știți ce să faceți când cele două variabile se anulează reciproc
Uneori, combinarea a două ecuații are ca rezultat o ecuație care nu are sens sau nu vă ajută să rezolvați problema. Examinați-vă munca și, dacă sunteți sigur că nu ați făcut nimic greșit, scrieți unul dintre următoarele două răspunsuri:
- Dacă ecuația combinată nu are variabile și nu este adevărată (de exemplu, 2 = 7), această problemă n-am niciun răspuns. Acest răspuns se aplică ambelor ecuații. (Când aceasta este reprezentată grafic, aceste două ecuații sunt paralele și nu se întâlnesc niciodată.)
- Dacă ecuația combinată nu are variabile și Corect, (de ex. 0 = 0), ceea ce înseamnă că întrebarea are răspunsuri nelimitate. Aceste două ecuații sunt identice una cu cealaltă. (Când sunt reprezentate grafic, aceste două ecuații sunt aceeași linie.)
Metoda 3 din 3: Desenați un grafic al ecuațiilor
Pasul 1. Efectuați această metodă numai când vi se indică
Dacă nu utilizați un computer sau un calculator grafic, această metodă poate oferi doar răspunsuri aproximative. Profesorul sau manualul dvs. vă pot spune să utilizați această metodă pentru a vă obișnui să desenați ecuații ca linii. Această metodă poate fi utilizată și pentru a verifica răspunsul la una dintre metodele de mai sus.
Ideea principală este că trebuie să descrieți cele două ecuații și să le găsiți punctul de intersecție. Valoarea lui x și y în acest punct de intersecție este răspunsul la problemă
Pasul 2. Găsiți valorile y ale ambelor ecuații
Nu combinați cele două ecuații și schimbați fiecare ecuație astfel încât formatul să fie „y = _x + _”. Ca exemplu:
- Prima ta ecuație este 2x + y = 5. Schimba in y = -2x + 5.
- Prima ta ecuație este - 3x + 6y = 0. Schimba in 6y = 3x + 0, și simplifică la y = x + 0.
- Dacă cele două ecuații sunt exact aceleași, întreaga linie este „intersecția” celor două ecuații. Scrie răspunsuri nelimitate ca răspuns.
Pasul 3. Desenați axele de coordonate
Desenați o linie verticală „axa y” și o linie orizontală „axa x” pe hârtia grafică. Începând din punctul în care cele două axe se intersectează (0, 0), scrieți etichetele numerice 1, 2, 3, 4 și așa mai departe, îndreptându-vă secvențial în sus pe axa y și arătând spre dreapta pe axa x. După aceea, scrieți etichetele numerice -1, -2 și așa mai departe, arătând secvențial în jos pe axa y și arătând spre stânga pe axa x.
- Dacă nu aveți hârtie milimetrică, utilizați o riglă pentru a vă asigura că distanța dintre fiecare număr este exact aceeași.
- Dacă utilizați numere mari sau zecimale, vă recomandăm să vă scalați graficul (de exemplu, 10, 20, 30 sau 0, 1, 0, 2, 0, 3 în loc de 1, 2, 3).
Pasul 4. Desenați punctul de interceptare y pentru fiecare ecuație
Dacă ecuația este în formă y = _x + _, puteți începe să desenați un grafic făcând punctul în care linia de ecuație se intersectează cu axa y. Valoarea lui este întotdeauna aceeași cu ultimul număr din ecuație.
- Continuând exemplul anterior, prima linie (y = -2x + 5) intersectează axa y la
Pasul 5.. a doua linie (y = x + 0) intersectează axa y la 0. (Aceste puncte sunt scrise ca (0, 5) și (0, 0) pe grafic.)
- Dacă este posibil, desenați prima și a doua linie cu pixuri sau creioane de diferite culori.
Pasul 5. Folosiți panta pentru a continua linia
În format de ecuație y = _x + _, numărul din fața x indică „nivelul pantei” liniei. De fiecare dată când x este mărit cu unul, valoarea lui y va crește cu numărul de niveluri de pantă. Folosiți aceste informații pentru a găsi punctele pentru fiecare linie de pe grafic când x = 1. (De asemenea, puteți introduce x = 1 în fiecare ecuație și să găsiți valoarea lui y).
- Continuând exemplul anterior, linia y = -2x + 5 are o pantă de - 2. În punctul x = 1, linia se mișcă jos cu 2 din punctul x = 0. Desenați o linie care leagă (0, 5) cu (1, 3).
- Linia y = x + 0 are o pantă de ½. La x = 1, linia se mișcă plimbare din punctul x = 0. Desenați o linie care conectează (0, 0) cu (1,).
- Dacă două linii au aceeași pantă, cei doi nu se vor intersecta niciodată. Astfel, acest sistem de ecuații nu are răspuns. Scrie nici un raspuns ca răspuns.
Pasul 6. Continuați conectarea liniilor până când cele două linii se intersectează
Nu mai lucrați și aruncați o privire la graficul dvs. dacă cele două linii s-au încrucișat, continuați cu pasul următor. Dacă nu, luați o decizie pe baza poziției celor două linii:
- Dacă cele două linii se apropie una de cealaltă, continuați să conectați punctele dungilor dvs.
- Dacă cele două linii se îndepărtează una de cealaltă, mergeți înapoi și conectați punctele în direcții opuse, începând de la x = 1.
- Dacă cele două linii sunt foarte depărtate, încercați să săriți și să conectați punctele mai îndepărtate, de exemplu x = 10.
Pasul 7. Găsiți răspunsul la punctul de intersecție
După ce cele două linii se intersectează, valoarea lui x și y în acel moment este răspunsul la problema dvs. Dacă aveți noroc, răspunsul va fi un număr întreg. De exemplu, în exemplul nostru cele două linii se intersectează în punct (2, 1) deci răspunsul este x = 2 și y = 1. În unele sisteme de ecuații, punctul în care linia se intersectează este între două numere întregi și, dacă graficul nu este foarte precis, este dificil de identificat unde valorile x și y sunt la punctul de intersecție. Dacă este permis, puteți scrie „x este între 1 și 2” ca răspuns sau puteți utiliza metoda de substituție sau eliminare pentru a găsi răspunsul.
sfaturi
- Vă puteți verifica munca conectând răspunsurile la ecuația originală. Dacă ecuația se dovedește a fi adevărată (de exemplu, 3 = 3), înseamnă că răspunsul dvs. este corect.
- Când utilizați metoda de eliminare, uneori trebuie să multiplicați ecuația cu un număr negativ, astfel încât variabilele să se poată anula reciproc.
