Forma rădăcină este o afirmație algebrică care are semnul rădăcinii pătrate (sau rădăcină cub sau mai mare). Această formă poate reprezenta adesea două numere care au aceeași valoare, chiar dacă pot apărea diferite la prima vedere (de exemplu, 1 / (sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Prin urmare, avem nevoie de o „formulă standard” pentru acest tip de formă. Dacă există două afirmații, ambele în formula standard, care par diferite, acestea nu sunt aceleași. Matematicienii sunt de acord că formularea standard a formei pătratice îndeplinește următoarele cerințe:
- Evitați utilizarea fracțiilor
- Nu utilizați puteri fracționate
- Evitați să folosiți forma rădăcină în numitor
- Nu conține multiplicarea a două forme de rădăcină
- Numerele de sub rădăcină nu mai pot fi înrădăcinate
O utilizare practică a acestui lucru este în examenele cu alegeri multiple. Când găsiți un răspuns, dar răspunsul dvs. nu este același cu opțiunile disponibile, încercați să îl simplificați într-o formulă standard. Întrucât factorii de întrebări scriu de obicei răspunsurile în formule standard, faceți același lucru cu răspunsurile dvs. pentru a se potrivi cu ale lor. În întrebările eseului, comenzi precum „simplifică-ți răspunsul” sau „simplifică toate rădăcinile” înseamnă că elevii trebuie să efectueze pașii următori până când îndeplinesc formula standard de mai sus. Acest pas poate fi folosit și pentru rezolvarea ecuațiilor, deși unele tipuri de ecuații sunt mai ușor de rezolvat în formule non-standard.
Etapa
Pasul 1. Dacă este necesar, revedeți regulile pentru operarea rădăcinilor și exponenților (ambele sunt egale - rădăcinile sunt puteri ale fracțiilor), deoarece avem nevoie de ele în acest proces
De asemenea, revedeți regulile pentru simplificarea polinoamelor și a formelor raționale, deoarece va trebui să le simplificăm.
Metoda 1 din 6: pătrate perfecte
Pasul 1. Simplificați toate rădăcinile care conțin pătrate perfecte
Un pătrat perfect este produsul unui număr în sine, de exemplu 81, care este un produs de 9 x 9. Pentru a simplifica un pătrat perfect, trebuie doar să eliminați rădăcina pătrată și să scrieți rădăcina pătrată a numărului.
- De exemplu, 121 este un pătrat perfect, deoarece 11 x 11 este egal cu 121. Deci, puteți simplifica rădăcina (121) la 11, eliminând semnul rădăcină.
- Pentru a face acest pas mai ușor, va trebui să vă amintiți primele douăsprezece pătrate perfecte: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Pasul 2. Simplificați toate rădăcinile care conțin cuburi perfecte
Un cub perfect este produsul înmulțirii unui număr de două ori cu el însuși, de exemplu 27, care este produsul de 3 x 3 x 3. Pentru a simplifica forma rădăcinii unui cub perfect, trebuie doar să scoateți rădăcina pătrată și să scrieți rădăcina pătrată a numărului.
De exemplu, 343 este un cub perfect, deoarece este produsul de 7 x 7 x 7. Deci, rădăcina cubică a lui 343 este 7
Metoda 2 din 6: Conversia fracțiilor în rădăcini
Sau schimbarea inversă (uneori ajută), dar nu le amestecați în aceeași afirmație ca root (5) + 5 ^ (3/2). Vom presupune că doriți să utilizați forma rădăcină și vom folosi simbolurile rădăcină (n) pentru rădăcina pătrată și sqrt ^ 3 (n) pentru rădăcina cubului.
Pasul 1. Luați una la puterea fracției și convertiți-o în forma rădăcină, de exemplu x ^ (a / b) = rădăcină la puterea b a x ^ a
Dacă rădăcina pătrată este sub formă de fracție, convertiți-o în formă regulată. De exemplu, rădăcina pătrată (2/3) a 4 = rădăcina (4) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8
Pasul 2. Convertiți exponenții negativi în fracții, de exemplu x ^ -y = 1 / x ^ y
Această formulă se aplică numai exponenților constanți și raționali. Dacă aveți de-a face cu o formă precum 2 ^ x, nu o modificați, chiar dacă problema indică faptul că x poate fi o fracție sau un număr negativ
Pasul 3. Fuzionați același trib și simplificați forma rațională rezultată.
Metoda 3 din 6: Eliminarea fracțiilor din rădăcini
Formula standard necesită ca rădăcina să fie un număr întreg.
Pasul 1. Uită-te la numărul de sub rădăcina pătrată dacă conține încă o fracție
Dacă totuși, …
Pasul 2. Treceți la o fracție formată din două rădăcini folosind rădăcina identității (a / b) = sqrt (a) / sqrt (b)
Nu utilizați această identitate dacă numitorul este negativ sau dacă este o variabilă care ar putea fi negativă. În acest caz, simplificați mai întâi fracția
Pasul 3. Simplificați fiecare pătrat perfect al rezultatului
Adică, convertiți sqrt (5/4) în sqrt (5) / sqrt (4), apoi simplificați în sqrt (5) / 2.
Pasul 4. Folosiți alte metode de simplificare, cum ar fi simplificarea fracțiilor complexe, combinarea termenilor egali etc
Metoda 4 din 6: Combinarea rădăcinilor de multiplicare
Pasul 1. Dacă înmulțiți o formă rădăcină cu alta, combinați-le pe cele două într-o rădăcină pătrată folosind formula:
sqrt (a) * sqrt (b) = sqrt (ab). De exemplu, schimbați rădăcina (2) * rădăcina (6) la rădăcina (12).
- Identitatea de mai sus, sqrt (a) * sqrt (b) = sqrt (ab), este valabilă dacă numărul de sub semnul sqrt nu este negativ. Nu utilizați această formulă atunci când a și b sunt negative, deoarece veți face greșeala de a face sqrt (-1) * sqrt (-1) = sqrt (1). Declarația din stânga este egală cu -1 (sau nedefinită dacă nu utilizați numere complexe) în timp ce declarația din dreapta este +1. Dacă a și / sau b sunt negative, mai întâi „schimbați” semnul ca sqrt (-5) = i * sqrt (5). Dacă formularul de sub semnul rădăcină este o variabilă al cărui semn este necunoscut din context sau poate fi pozitiv sau negativ, lăsați-l așa cum este pentru moment. Puteți utiliza identitatea mai generală, sqrt (a) * sqrt (b) = sqrt (sgn (a)) * sqrt (sgn (b)) * sqrt (| ab |) care se aplică tuturor numerelor reale a și b, dar de obicei această formulă nu ajută prea mult, deoarece adaugă complexitate utilizării funcției sgn (signum).
- Această identitate este valabilă numai dacă formele rădăcinilor au același exponent. Puteți înmulți rădăcini pătrate diferite, cum ar fi sqrt (5) * sqrt ^ 3 (7), transformându-le în aceeași rădăcină pătrată. Pentru a face acest lucru, convertiți temporar rădăcina pătrată într-o fracție: sqrt (5) * sqrt ^ 3 (7) = 5 ^ (1/2) * 7 ^ (1/3) = 5 ^ (3/6) * 7 ^ (2/6) = 125 ^ (1/6) * 49 ^ (1/6). Apoi utilizați regula de înmulțire pentru a înmulți cele două la rădăcina pătrată a 6125.
Metoda 5 din 6: Eliminarea factorului pătrat din rădăcină
Pasul 1. Factorizarea rădăcinilor imperfecte în factori primi
Un factor este un număr care atunci când este înmulțit cu un alt număr formează un număr - de exemplu, 5 și 4 sunt doi factori de 20. Pentru a descompune rădăcinile imperfecte, scrieți toți factorii numărului (sau cât mai mulți posibil, dacă numărul este prea mare) până când veți găsi un pătrat perfect.
De exemplu, încercați să găsiți toți factorii 45: 1, 3, 5, 9, 15 și 45. 9 este un factor de 45 și este, de asemenea, un pătrat perfect (9 = 3 ^ 2). 9 x 5 = 45
Pasul 2. Eliminați toți multiplicatorii care sunt pătrate perfecte din rădăcina pătrată
9 este un pătrat perfect, deoarece este produsul a 3 x 3. Scoateți 9 din rădăcina pătrată și înlocuiți-l cu 3 în fața rădăcinii pătrate, lăsând 5 în interiorul rădăcinii pătrate. Dacă „puneți” 3 înapoi în rădăcina pătrată, înmulțiți-vă de la sine pentru a face 9, iar dacă înmulțiți cu 5, va da 45. 3 rădăcini de 5 este un mod simplu de exprimare a rădăcinii de 45.
Adică sqrt (45) = sqrt (9 * 5) = sqrt (9) * sqrt (5) = 3 * sqrt (5)
Pasul 3. Găsiți pătratul perfect în variabilă
Rădăcina pătrată a unui pătrat este | a |. Puteți simplifica acest lucru la doar „a” dacă variabila cunoscută este pozitivă. Rădăcina pătrată a lui la puterea lui 3 atunci când este descompusă la rădăcina pătrată a unui pătrat de ori a treia putere.
Prin urmare, un pătrat perfect în formă de cub este un pătrat
Pasul 4. Eliminați variabila care conține pătratul perfect din rădăcina pătrată
Acum, luați un pătrat din rădăcina pătrată și schimbați-l în | a |. Forma simplă a rădăcinii a la puterea lui 3 este | a | rădăcină a.
Pasul 5. Combinați termenii egali și simplificați toate rădăcinile rezultatelor calculului
Metoda 6 din 6: Raționalizați denumitorul
Pasul 1. Formula standard necesită ca numitorul să fie un număr întreg (sau un polinom dacă conține o variabilă) pe cât posibil
-
Dacă numitorul constă dintr-un singur termen sub semnul rădăcină, cum ar fi […] / rădăcină (5), atunci înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul cu acea rădăcină pentru a obține […] * sqrt (5) / sqrt (5) * sqrt (5) = […] * rădăcină (5) / 5.
Pentru rădăcini cub sau mai mari, înmulțiți cu rădăcina corespunzătoare, astfel încât numitorul să fie rațional. Dacă numitorul este rădăcina ^ 3 (5), înmulțiți numărătorul și numitorul cu sqrt ^ 3 (5) ^ 2
-
Dacă numitorul constă în adunarea sau scăderea a două rădăcini pătrate precum sqrt (2) + sqrt (6), înmulțiți cuantificatorul și numitorul prin conjugatul lor, care este aceeași formă, dar cu semnul opus. Apoi […] / (rădăcină (2) + rădăcină (6)) = […] (rădăcină (2) -root (6)) / (rădăcină (2) + rădăcină (6)) (rădăcină (2) -root (6)). Apoi utilizați formula de identitate pentru diferența de două pătrate [(a + b) (ab) = a ^ 2-b ^ 2] pentru a raționaliza numitorul, pentru a simplifica (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2) ^ 2 - sqrt (6) ^ 2 = 2-6 = -4.
- Acest lucru se aplică și numitorilor precum 5 + sqrt (3) deoarece toate numerele întregi sunt rădăcini ale altor numere întregi. [1 / (5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3)) / (5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3)) / (5 ^ 2-sqrt (3) ^ 2) = (5-sqrt (3)) / (25-3) = (5-sqrt (3)) / 22]
- Această metodă se aplică și adaosului de rădăcini precum sqrt (5) -sqrt (6) + sqrt (7). Dacă le grupați în (sqrt (5) -sqrt (6)) + sqrt (7) și înmulțiți cu (sqrt (5) -sqrt (6)) - sqrt (7), răspunsul nu este în formă rațională, ci încă într-o rădăcină + b * (30) unde a și b sunt deja numere raționale. Apoi repetați procesul cu conjugații a + b * sqrt (30) și (a + b * sqrt (30)) (a-b * sqrt (30)) va fi rațional. În esență, dacă puteți utiliza acest truc pentru a elimina un semn rădăcină în numitor, îl puteți repeta de multe ori pentru a elimina toate rădăcinile.
- Această metodă poate fi utilizată și pentru numitorii care conțin o rădăcină mai mare, cum ar fi a patra rădăcină a lui 3 sau a șaptea rădăcină a lui 9. Înmulțiți numărătorul și numitorul cu conjugatul numitorului. Din păcate, nu putem obține în mod direct conjugatul numitorului și este dificil să facem acest lucru. Răspunsul îl putem găsi într-o carte de algebră despre teoria numerelor, dar nu voi intra în asta.
Pasul 2. Acum numitorul este într-o formă rațională, dar numărătorul pare o mizerie
Acum tot ce trebuie să faci este să-l înmulțești cu conjugatul numitorului. Mergeți mai departe și multiplicați așa cum am înmulți polinoamele. Verificați dacă unii termeni pot fi omiși, simplificați sau combinați, dacă este posibil.
Pasul 3. Dacă numitorul este un număr întreg negativ, înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul cu -1 pentru a-l face pozitiv
sfaturi
- Puteți căuta online site-uri care vă pot ajuta să simplificați formularele rădăcină. Tastați doar ecuația cu semnul rădăcină și, după ce apăsați Enter, va apărea răspunsul.
- Pentru întrebări mai simple, este posibil să nu utilizați toți pașii din acest articol. Pentru întrebări mai complexe, poate fi necesar să parcurgeți mai mulți pași de mai multe ori. Utilizați pașii „simpli” de câteva ori și verificați dacă răspunsul dvs. se potrivește cu criteriile standard de formulare pe care le-am discutat anterior. Dacă răspunsul dvs. este în formula standard, ați terminat; dar dacă nu, puteți verifica unul dintre pașii de mai sus pentru a vă ajuta să faceți acest lucru.
- Majoritatea referințelor la „formula standard recomandată” pentru forma rădăcinilor se aplică și numerelor complexe (i = rădăcină (-1)). Chiar dacă o afirmație conține un „i” în locul unei rădăcini, evitați numitorii care încă conțin un i cât mai mult posibil.
- Unele dintre instrucțiunile din acest articol presupun că toate rădăcinile sunt pătrate. Aceleași principii generale se aplică rădăcinilor puterilor superioare, deși unele părți (în special raționalizarea numitorului) pot fi destul de dificil de lucrat. Decideți singuri ce formă doriți, cum ar fi sqr ^ 3 (4) sau sqr ^ 3 (2) ^ 2. (Nu-mi amintesc ce formă este de obicei sugerată în manuale).
- Unele dintre instrucțiunile din acest articol folosesc cuvântul „formulă standard” pentru a descrie „formă obișnuită”. Diferența este că formula standard acceptă doar forma 1 + sqrt (2) sau sqrt (2) +1 și consideră celelalte forme ca ne-standard; Forma simplă presupune că tu, cititorul, ești suficient de inteligent pentru a vedea „asemănarea” acestor două numere, chiar dacă nu sunt identice în scris („același” înseamnă în proprietatea lor aritmetică (adunare comutativă), nu proprietatea lor algebrică (rădăcină) (2) este rădăcina negativă a lui x ^ 2-2)). Sperăm că cititorii vor înțelege o ușoară neglijență în utilizarea acestei terminologii.
- Dacă vreunul dintre indicii pare ambiguu sau contradictoriu, faceți toți pașii care sunt lipsiți de ambiguitate și consecvenți, apoi alegeți orice formă preferați.
