Învățarea modului de simplificare a expresiilor algebrice este una dintre cheile pentru stăpânirea algebrei de bază și cel mai util instrument pe care orice matematician trebuie să îl aibă. Simplificarea permite matematicienilor să convertească expresii complexe, lungi și / sau ciudate în expresii echivalente mai simple sau mai ușoare. Abilitățile de bază de simplificare sunt foarte ușor de învățat - chiar și pentru cei care urăsc matematica. Urmând câțiva pași simpli, este posibil să simplificați multe dintre cele mai frecvent utilizate tipuri de expresii algebrice, fără a utiliza cunoștințe speciale de matematică. Consultați Pasul 1 pentru a începe!
Etapa
Înțelegerea conceptelor importante
Pasul 1. Grupați termeni ca în funcție de variabilele și puterile lor
În algebră, termenii asemănători au aceeași configurație variabilă, cu aceeași putere. Cu alte cuvinte, pentru ca doi termeni să fie egali, trebuie să aibă aceeași variabilă sau deloc variabilă și fiecare variabilă are aceeași putere sau nu are exponent. Ordinea variabilelor în termeni nu este importantă.
De exemplu, 3x2 și 4x2 sunt ca niște termeni, deoarece ambii au o variabilă x cu puterea pătratului. Cu toate acestea, x și x2 nu sunt ca termenii, deoarece fiecare termen are o variabilă x cu o putere diferită. Aproape la fel, -3yx și 5xz nu sunt termeni asemănători, deoarece fiecare termen are o variabilă diferită.
Pasul 2. Factorizând scriind numărul ca produs al celor doi factori
Factoringul este conceptul de notare a unui număr dat ca produs al multiplicării a doi factori. Numerele pot avea mai multe seturi de factori - de exemplu, 12 pot fi obținute din 1 × 12, 2 × 6 și 3 × 4, deci putem spune că 1, 2, 3, 4, 6 și 12 sunt factori din 12 Un alt mod de a-l imagina este că factorii unui număr sunt numerele care împart numărul întreg.
- De exemplu, dacă am dori să facem factorul 20, l-am putea scrie ca 4 × 5.
- Rețineți că termenii variabili pot fi, de asemenea, luați în considerare. -20x, de exemplu, poate fi scris ca 4 (5x).
- Numerele prime nu pot fi luate în considerare deoarece pot fi împărțite doar între ele și 1.
Pasul 3. Folosiți acronimul KaPaK BoTaK pentru a vă aminti ordinea operațiilor
Uneori, simplificarea unei expresii rezolvă pur și simplu operația din ecuație până când nu mai este funcțională. În aceste cazuri, este foarte important să ne amintim ordinea operațiilor, astfel încât să nu apară erori aritmetice. Acronimul KaPaK BoTaK vă va ajuta să vă amintiți ordinea operațiilor - literele indică tipurile de operații pe care ar trebui să le efectuați, în ordinea:
- Keșua
- Plift
- Kali
- Bdin nou
- Tadăuga
- Kcrevetă
Metoda 1 din 3: Fuzionați Termeni similari
Pasul 1. Notați-vă ecuația
Cele mai simple ecuații algebrice, care implică doar câțiva termeni variabili cu coeficienți întregi și fără fracții, rădăcini etc., pot fi adesea rezolvate în doar câțiva pași. Pentru majoritatea problemelor de matematică, primul pas pentru simplificarea ecuației este să o scrieți!
Ca exemplu de problemă, pentru următorii pași, folosim expresia 1 + 2x - 3 + 4x.
Pasul 2. Identificați triburi similare
Apoi, căutați termeni similari în ecuația dvs. Amintiți-vă că termenii asemănători au aceeași variabilă și exponent.
De exemplu, să identificăm termeni asemănători în ecuația noastră 1 + 2x - 3 + 4x. 2x și 4x ambele au aceeași variabilă cu aceeași putere (în acest caz, x nu are exponent). De asemenea, 1 și -3 sunt termeni asemănători, deoarece nu au variabile. Deci, în ecuația noastră, 2x și 4x și 1 și -3 sunt triburi similare.
Pasul 3. Combinați termeni asemănători
Acum, după ce ați identificat termeni asemănători, îi puteți combina pentru a vă simplifica ecuația. Adăugați termenii (sau scădeți în cazul termenilor negativi) pentru a reduce setul de termeni cu aceeași variabilă și exponent la un termen egal.
-
Să adăugăm termeni asemănători în exemplul nostru.
- 2x + 4x = 6x
- 1 + -3 = - 2
Pasul 4. Creați o ecuație mai simplă din termenii simplificați
După ce ați combinat termenii dvs. similari, faceți o ecuație din noul set de termeni mai mici. Veți obține o ecuație mai simplă, care are un termen pentru diferitele seturi de variabile și puteri din ecuația originală. Această nouă ecuație este echivalentă cu ecuația inițială.
În exemplul nostru, termenii simplificați sunt 6x și -2, deci noua noastră ecuație este 6x - 2. Această ecuație simplă este echivalentă cu originalul (1 + 2x - 3 + 4x), dar mai scurtă și mai ușor de lucrat. De asemenea, este mai ușor de luat în calcul, pe care îl vom analiza mai jos, care este o altă abilitate importantă de simplificare.
Pasul 5. Urmați ordinea operațiilor atunci când combinați termeni similari
În ecuații foarte simple precum cea pe care am lucrat-o în exemplul problemei de mai sus, identificarea termenilor asemănători este ușoară. Cu toate acestea, în ecuații mai complexe, cum ar fi expresiile care implică termeni parantetici, fracții și rădăcini, cum ar fi termenii care pot fi combinați, poate să nu fie clar vizibili. În aceste cazuri, urmați ordinea operațiilor, efectuând operații la termenii din expresia dvs., după cum este necesar, până când rămân operațiile de adunare și scădere.
-
De exemplu, să folosim ecuația 5 (3x-1) + x ((2x) / (2)) + 8 - 3x. Ar fi greșit să considerăm imediat 3x și 2x ca termeni similari și să-i combinăm, deoarece parantezele din expresie indică faptul că trebuie să facem mai întâi alte operații. În primul rând, efectuăm operații aritmetice asupra expresiei în ordinea operațiilor pentru a obține termeni pe care îi putem folosi. A se vedea următoarele:
- 5 (3x-1) + x ((2x) / (2)) + 8 - 3x
- 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
- 15x - 5 + x2 + 8 - 3x. Acum, deoarece singurele operațiuni rămase sunt adunarea și scăderea, putem combina termeni asemănători.
- X2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
- X2 + 12x + 3
Metoda 2 din 3: Factoring
Pasul 1. Identificați cel mai mare factor comun din expresie
Factorizarea este o modalitate de a simplifica o expresie prin eliminarea factorilor care sunt aceiași în termeni similari din expresie. Pentru început, găsiți cel mai mare factor comun pe care îl au toți termenii - cu alte cuvinte, cel mai mare număr care împarte toți termenii în expresia întreagă.
-
Să folosim ecuația 9x2 + 27x - 3. Observați că fiecare termen din această ecuație este divizibil cu 3. Deoarece termenii nu sunt divizibili cu niciun număr mai mare, putem spune că
Pasul 3. este cel mai mare factor comun al nostru.
Pasul 2. Împarte termenii din expresie la cel mai mare factor comun
Apoi, împărțiți fiecare termen din ecuația dvs. la cel mai mare factor comun pe care tocmai l-ați găsit. Termenii coeficientului vor avea un coeficient mai mic decât ecuația inițială.
-
Să luăm în calcul ecuația noastră prin cel mai mare factor comun, 3. Pentru a face acest lucru, vom împărți fiecare termen la 3.
- 9x2/ 3 = 3x2
- 27x / 3 = 9x
- -3/3 = -1
- Astfel, noua noastră expresie este 3x2 + 9x - 1.
Pasul 3. Scrieți-vă expresia ca produs al celui mai mare factor comun înmulțit cu termenii rămași
Noua dvs. expresie nu este echivalentă cu cea originală, deci ar fi incorect să spuneți că expresia a fost simplificată. Pentru ca noua noastră expresie să fie egală cu cea originală, trebuie să includem faptul că expresia noastră a fost împărțită de cel mai mare factor comun. Includeți noua dvs. expresie între paranteze și scrieți cel mai mare factor comun al ecuației originale ca coeficient de expresie între paranteze.
Pentru ecuația noastră de exemplu, 3x2 + 9x - 1, putem încadra expresia între paranteze și o putem înmulți cu cel mai mare factor comun al ecuației originale pentru a obține 3 (3x2 + 9x - 1). Această ecuație este echivalentă cu ecuația inițială, 9x2 + 27x - 3.
Pasul 4. Folosiți factoringul pentru a simplifica fracțiile
S-ar putea să vă întrebați de ce se folosește factoringul, chiar dacă după eliminarea celui mai mare factor comun, noua expresie trebuie multiplicată din nou cu acel factor. De fapt, factorizarea permite matematicienilor să efectueze diverse trucuri pentru a simplifica expresiile. Unul dintre cele mai simple trucuri ale sale profită de faptul că înmulțirea numărătorului și numitorului unei fracții cu același număr poate produce fracții echivalente. A se vedea următoarele:
-
Spuneți expresia noastră inițială de exemplu, 9x2 + 27x - 3, este cuantificatorul fracției mai mari cu 3 ca numărător. Fracția va arăta astfel: (9x2 + 27x - 3) / 3. Putem folosi factorizarea pentru a simplifica fracțiile.
- Să înlocuim forma de factoring a expresiei noastre originale cu expresia din numerator: (3 (3x2 + 9x - 1)) / 3
- Observați că acum, atât numărătorul, cât și numitorul au un coeficient de 3. Împărțind numărătorul și numitorul la 3, obținem: (3x2 + 9x - 1) / 1.
- Deoarece orice fracție cu un numitor de 1 este echivalentă cu termenii din numărător, putem spune că fracția noastră inițială poate fi simplificată la 3x2 + 9x - 1.
Metoda 3 din 3: Aplicarea abilităților suplimentare de simplificare
Pasul 1. Simplificați fracțiile împărțind la aceiași factori
După cum sa menționat mai sus, dacă numeratorul și numitorul unei ecuații au aceiași factori, acești factori pot fi omiși complet în fracție. Uneori, va necesita luarea în considerare a numărătorului, numitorului sau ambelor (așa cum se întâmplă în exemplul problemei de mai sus), în timp ce uneori aceiași factori sunt adesea evidenți. Rețineți că este, de asemenea, posibil să împărțiți termenii numărătorului la ecuația din numitor unul câte unul pentru a obține o expresie simplă.
-
Să lucrăm la un exemplu care nu necesită factorizarea. Pentru fracții (5x2 + 10x + 20) / 10, putem împărți fiecare termen din numărător la 10 pentru a simplifica, chiar dacă coeficientul este 5 în 5x2 nu este mai mare de 10 și astfel 10 nu este un factor.
Dacă o facem, vom obține ((5x2) / 10) + x + 2. Dacă am dori, am putea rescrie primul termen ca (1/2) x2 deci obținem (1/2) x2 + x + 2.
Pasul 2. Folosiți factorii pătrate pentru a simplifica rădăcinile
Expresia de sub semnul rădăcină se numește expresia rădăcină. Această expresie poate fi simplificată prin identificarea factorilor pătrati (factori care sunt pătrate de numere întregi) și efectuarea operației rădăcină pătrată separat pentru a le elimina de sub semnul rădăcină pătrată.
-
Să facem un exemplu simplu - (90). Dacă ne gândim la 90 ca produs al celor doi factori ai săi, 9 și 10, putem lua rădăcina pătrată a lui 9 care este numărul întreg 3 și o putem elimina din semnul radical. Cu alte cuvinte:
- √(90)
- √(9 × 10)
- (√(9) × √(10))
- 3 × √(10)
- 3√(10)
Pasul 3. Adăugați exponenți atunci când înmulțiți doi exponenți; scade la împărțire
Unele expresii algebrice necesită înmulțirea sau divizarea termenilor puterii. În loc să calculați sau să împărțiți fiecare exponent manual, adăugați exponenții la înmulțire și scăpați la împărțire pentru a economisi timp. Acest concept poate fi folosit și pentru simplificarea expresiilor variabile.
-
De exemplu, să folosim expresia 6x3 × 8x4 + (x17/X15). În orice caz în care este necesară multiplicarea sau împărțirea exponenților, vom scădea sau adăuga exponenți, respectiv, pentru a găsi rapid termenul simplu. A se vedea următoarele:
- 6x3 × 8x4 + (x17/X15)
- (6 × 8) x3 + 4 + (x17 - 15)
- 48x7 + x2
-
Pentru o explicație a modului în care funcționează, consultați mai jos:
- Înmulțirea termenilor în exponenți este de fapt ca înmulțirea termenilor nu în exponenți lungi. De exemplu, pentru că x3 = x × x × x și x 5 = x × x × x × x × x, x3 × x5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) sau x8.
- Aproape la fel, divizarea exponenților este ca divizarea termenilor, nu exponenții lungi. X5/X3 = (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Deoarece fiecare termen din numărător poate fi tăiat prin găsirea aceluiași termen în numitor, mai sunt doar doi x în numerator și nu mai rămâne nimic în partea de jos, dând răspunsul x2.
sfaturi
- Amintiți-vă întotdeauna că trebuie să vă imaginați aceste numere ca având semne pozitive și negative. Mulți oameni se opresc să se gândească la ce semn ar trebui să pun aici?
- Cereți ajutor dacă aveți nevoie de el!
- Simplificarea expresiilor algebrice nu este ușoară, dar odată ce o înțelegeți, o veți folosi pentru tot restul vieții.
Avertizare
- Căutați întotdeauna triburi similare și nu vă lăsați păcăliți de rang.
- Asigurați-vă că nu adăugați numere, puteri sau operații care nu ar trebui să fie accidental.
