Deși poate părea descurajant uneori, problema rădăcinii pătrate nu este de fapt atât de dificil de rezolvat. Problemele simple de rădăcină pătrată pot fi de obicei rezolvate la fel de ușor ca problemele de bază de multiplicare și divizare. Pentru întrebări mai complexe, este nevoie de puțin efort suplimentar. Dar cu abordarea corectă, orice problemă dificilă poate fi rezolvată. Prin acest articol vă vom ajuta să rezolvați problemele rădăcinii pătrate în câțiva pași simpli.
Etapa
Partea 1 din 3: Înțelegerea pătratelor și a rădăcinilor pătrate
Pasul 1. Pătratul este numărul înmulțit cu numărul în sine
Pentru a înțelege rădăcina pătrată, este bine să înțelegeți mai întâi semnificația pătratului. Pur și simplu, un pătrat este un număr înmulțit cu numărul în sine. De exemplu, 3 pătrat este de 3 ori 3 = 9 și 9 pătrat este de 9 ori 9 = 81. Pătratul este reprezentat de 2 mic în partea dreaptă sus a numărului pătrat - astfel: 32, 92, 1002, etc.
Încercați să pătrateți alte câteva numere pentru a testa acest concept. Amintiți-vă, pătratul unui număr înseamnă multiplicarea unui număr de la sine. Puteți chiar numere negative pătrate. Rezultatul va fi întotdeauna un număr pozitiv. De exemplu, -82 = -8 × -8 = 64.
Pasul 2. Rădăcina pătrată este reciprocă a pătratului
Simbolul rădăcinii pătrate (√, cunoscut și ca simbolul „radical”) este în esență opusul simbolului 2. Când găsiți un radical, întrebați-vă: ce număr, dacă este pătrat, ar duce la numărul din interiorul radicalului? De exemplu, dacă te uiți la √ (9), găsește numărul care atunci când este pătrat este nouă. Astfel, răspunsul este „trei”, deoarece 32 = 9.
-
Ca un alt exemplu, să încercăm să găsim rădăcina pătrată a lui 25 (√ (25)). Adică, căutăm un număr care atunci când este pătrat, rezultatul este 25. Deoarece 52 = 5 × 5 = 25, apoi (25) =
Pasul 5..
-
Rădăcina pătrată poate fi, de asemenea, considerată „desfacerea” pătratului. De exemplu, dacă vrem să găsim (64), rădăcina pătrată a lui 64, atunci gândim la 64 ca la 82. Deoarece simbolul rădăcinii pătrate „neagă” în esență simbolul pătrat, prin urmare (64) = (82) =
Pasul 8..
Pasul 3. Cunoașteți diferența dintre pătratele perfecte și cele imperfecte
Până acum, rezultatele calculelor noastre de rădăcină pătrată erau numere întregi. Întrebările cu care vă veți confrunta mai târziu nu vor fi atât de ușoare, vor exista întrebări cu răspunsuri cu număr zecimal cu câteva cifre în spatele virgulei. Numerele rotunjite după pătrat (adică nu numerele fracționare sau zecimale) sunt, de asemenea, denumite „pătrate perfecte”. Toate exemplele anterioare (9, 25 și 64) sunt pătrate perfecte, deoarece dacă sunt pătrate, rezultatul este un număr întreg (3, 5 și 8).
Pe de altă parte, numerele care nu sunt rotunjite după ce au fost pătrate, sunt „pătrate imperfecte”. De obicei, după pătrat rezultatul este un număr fracțional sau zecimal. Uneori chiar și numerele arată foarte complicat, cum ar fi (13) = 3, 605551275464…
Pasul 4. Memorează pătratul numerelor 1-12
După cum știți deja, pătrarea unui număr pătrat perfect este foarte ușoară. Memorarea pătratelor numerelor 1-12 poate fi foarte utilă, deoarece aceste numere vor apărea foarte mult în problemă. Astfel, veți economisi timp în timp ce lucrați la întrebări. Primele 12 numere pătrate sunt:
-
12 = 1 × 1 =
Pasul 1.
-
22 = 2 × 2 =
Pasul 4.
-
32 = 3 × 3 =
Pasul 9.
-
42 = 4 × 4 =
Pasul 16.
-
52 = 5 × 5 =
Pasul 25.
- 62 = 6 × 6 = 36
- 72 = 7 × 7 = 49
- 82 = 8 × 8 = 64
- 92 = 9 × 9 = 81
- 102 = 10 × 10 = 100
- 112 = 11 × 11 = 121
- 122 = 12 × 12 = 144
Pasul 5. Simplificați rădăcina pătrată eliminând pătratele perfecte
Găsirea rădăcinii pătrate a unui număr pătrat imperfect poate fi dificilă, mai ales dacă nu utilizați un calculator. Cu toate acestea, numărul care trebuie pătrat poate fi simplificat pentru a ușura calculul. Pentru a face acest lucru, pur și simplu separați numărul din interiorul radicalului în mai mulți factori, apoi eliminați rădăcina pătrată a numerelor pătrate perfecte și scrieți răspunsul în afara radicalului. Această metodă este destul de ușor de făcut - pentru a vă oferi o mai bună înțelegere, iată mai multe explicații:
- Să presupunem că vrem să calculăm rădăcina pătrată a lui 900. Deci, pur și simplu împărțiți 900 în factorii săi. „Factorii” sunt numere care pot fi multiplicate împreună pentru a produce un alt număr. De exemplu, numărul 6 poate fi obținut înmulțind și 1 × 6 și 2 × 3, deci factorii 6 sunt 1, 2, 3 și 6.
- Având în vedere acest principiu, să împărțim 900 în factorii săi. Pentru început, scriem 900 ca 9 × 100. Deoarece 9 este un pătrat perfect, putem lua rădăcina pătrată a 100 separat. (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100). Cu alte cuvinte, (900) = 3√(100).
-
Îl putem simplifica în continuare separând 100 în factorii săi, și anume 25 și 4. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. Prin urmare, se poate calcula (900) = 3 (10) =
Pasul 30..
Pasul 6. Folosiți un număr imaginar pentru rădăcina pătrată a unui număr negativ
Gândiți-vă, ce număr dacă pătratul rezultatul este -16? Răspunsul, nu. Toate numerele la pătrat, rezultatul este întotdeauna pozitiv, deoarece este negativ (-), atunci când este înmulțit cu negativ, rezultatul este pozitiv (+). Deci, pentru a păstra un număr negativ, trebuie să înlocuim numărul negativ cu un număr imaginar (de obicei sub formă de litere sau simboluri). De exemplu, variabila „i” este utilizată în general pentru rădăcina pătrată a -1. Un număr imaginar este întotdeauna la rădăcina pătrată a unui număr negativ.
Trebuie remarcat faptul că, deși numerele imaginare nu sunt niciodată reprezentate prin numere, ele pot fi tratate ca numere în diferite moduri. De exemplu, rădăcina pătrată a unui număr negativ poate fi pătrată, pentru a elimina rădăcina pătrată. De exemplu, i2 = - 1
Partea 2 din 3: Utilizați algoritmul stilului diviziei lungi
Pasul 1. Rezolvați problemele rădăcinii pătrate, cum ar fi problemele de diviziune lungă
Deși problemele cu rădăcină pătrată care necesită mult timp, pot fi rezolvate fără un calculator. Pentru a face acest lucru, vom folosi o metodă (sau algoritm) similară cu divizarea stivei lungi.
- Începeți prin a scrie problema rădăcinii pătrate, așa cum ați face o problemă de diviziune lungă. Ca exemplu, găsiți rădăcina 6, 45, care nu este un număr întreg. Mai întâi, scriem simbolul radical (√), apoi dedesubt scriem numărul de care dorim să luăm pătratul. Apoi trageți o linie peste numere, la fel ca o diviziune lungă de stivuire. Acum, simbolul „√” pare că are o coadă cu numărul 6.45 în partea de jos.
- Vom scrie numerele de deasupra problemei, așa că asigurați-vă că lăsați un spațiu gol.
Pasul 2. Grupați cifrele numărului în perechi
Mai întâi, grupați cifrele numărului sub radical în perechi, începând cu punctul zecimal. Faceți un fel de marker (punct, virgulă, linie etc.) între perechi pentru o urmărire ușoară.
În problema de exemplu, 6, 45 vor fi împărțite în 6-, 45-00. Amintiți-vă că există cifre „rămase” în stânga - aceasta nu este o problemă.
Pasul 3. Găsiți cel mai mare număr a cărui valoare pătrată este mai mică sau egală cu primul grup
Începeți cu primul număr din grupul din stânga. Alegeți cel mai mare număr a cărui valoare pătrată este mai mică sau egală în grup. De exemplu, dacă grupul are 37 de ani, atunci alegeți 6 deoarece 62 = 36 <37 dar 72 = 49> 37. Scrieți acest număr deasupra primului grup. Acest număr este prima cifră a răspunsului dvs.
-
În problema de exemplu, primul grup de 6-, 45-00 este 6. Cel mai mare număr care este mai mic sau egal cu 6 atunci când este pătrat este
Pasul 2. - 22 = 4. Scrieți numărul "2" peste 6, iar coada este un radical.
Pasul 4. Înmulțiți numărul pe care tocmai l-ați notat, apoi coborâți-l și apoi scădeți-l
Luați prima cifră a răspunsului dvs. (scris deasupra radicalului) și multiplicați-l. Scrie răspunsul sub primul grup și scade pentru a găsi diferența. Aruncați următorul grup în dreapta diferenței pe care tocmai ați calculat-o. În cele din urmă, scrieți ultima cifră a înmulțirii primei cifre a răspunsului dvs. la stânga și lăsați un spațiu gol în dreapta.
În problema de exemplu, numărul care este dublat este 2 (prima cifră a răspunsului anterior). 2 × 2 = 4. Apoi, scade 4 cu 6 (din primul grup). 6 - 4 rezultatul este 2. Apoi, coborâți grupul următor (45) și obținem 245. În cele din urmă, scrieți numărul 4 din nou în stânga și lăsați puțin spațiu în dreapta, astfel: 4_
Pasul 5. Completați spațiul gol
Adăugați cifrele în dreapta numărului pe care l-ați scris în stânga. Alegeți cifra care dă cea mai mare valoare atunci când este înmulțită cu acest nou număr, dar este totuși mai mică sau egală cu „numărul derivat”. De exemplu, dacă „numărul derivat” este 1700 și numărul din stânga dvs. este 40_, numărul care ar trebui introdus este „4” deoarece 404 × 4 = 1616 <1700, în timp ce 405 × 5 = 2025. Numărul găsit în acest pas este a doua cifră a răspunsului dvs., așa că scrieți-l deasupra simbolului radical.
-
În problema de exemplu, vom căuta numărul de lângă 4_ × _ al cărui răspuns este cel mai mare număr, dar este mai mic sau egal cu 245. Răspunsul este
Pasul 5.. 45 × 5 = 225, în timp ce 46 × 6 = 276.
Pasul 6. Continuați să utilizați numerele „spațiu gol” pentru a vă găsi răspunsul
Continuați modelul lung de împărțire a stivei până când diferența dintre scăderile numerelor derivate este zero sau se obține un număr destul de precis. Când ați terminat, numerele pe care le-ați folosit pentru a completa spațiile goale din fiecare pas (plus primul număr pe care l-ați folosit) alcătuiesc fiecare cifră a răspunsului dvs.
-
În problema de exemplu, scădeți 245 cu 220 pentru a obține 20. Apoi, vom reduce următorul grup de cifre, 00 și vom obține 2000. Înmulțiți numărul de deasupra simbolului radical și vom obține 25 × 2 = 50. Pentru a completa în spațiile libere la 50_ × _ = / <2, 000, obținem numărul
Pasul 3.. Acum, avem „253” deasupra simbolului radical - repetați acest proces din nou și obțineți 9 în următoarea cifră.
Pasul 7. Eliminați semnul zecimal de la origine
Pentru a obține răspunsul final, puneți punctul zecimal în poziția corectă. Este ușor - puneți punctul zecimal în linie cu punctul zecimal sub simbolul radical. De exemplu, numărul de sub radical este 49, 8, deci puneți un punct zecimal între numerele de peste 8 și 9.
În problema de exemplu, dacă numărul de sub radical este 6, 45, atunci punctul zecimal va fi în linie între cifrele 2 și 5. Aceasta înseamnă că răspunsul final este 2, 539.
Partea 3 din 3: Estimați rapid pătratele imperfecte
Pasul 1. Găsiți pătratul imperfect folosind aproximarea
Odată ce ai memorat pătratele perfecte, găsirea pătratelor imperfecte va fi mult mai ușoară. Trucul este să găsești un pătrat perfect înainte și după numărul pe care îl cauți. Apoi, determinați care dintre cele două pătrate perfecte este cel mai apropiat de numărul pe care îl căutați.
De exemplu, vrem să găsim rădăcina pătrată a lui 40. Numărul pătrat perfect înainte și după 40 este 62 și 72, care este 36 și 49. Deoarece 40 este mai mare decât 36 și mai mică de 49, rădăcina pătrată a lui 40 trebuie să fie între 6 și 7. Numărul 40 este mai aproape de 36 decât 49, deci rădăcina pătrată a lui 40 este mai aproape de 6 Iată câțiva pași pentru a găsi un răspuns corect.
Pasul 2. Estimați rădăcina pătrată la o cifră după virgulă
Când ați stabilit două numere pătrate perfecte înainte și după numărul pe care îl căutați, restul este procesul de găsire a numărului din spatele virgulei care este cel mai apropiat de răspuns. Începeți cu numărul estimat dintr-o cifră după virgulă. Acest proces se va repeta până când veți obține un răspuns cu acuratețea dorită.
În problema de exemplu, aproximarea rezonabilă a rădăcinii pătrate de 40 este 6, 4, deoarece răspunsul este cel mai probabil mai aproape de 6 decât 7.
Pasul 3. Înmulțiți numărul estimat cu numărul în sine
Cu alte cuvinte, pătrateți numărul aproximativ. Dacă aveți noroc, rezultatul va fi numărul din problemă. Dacă nu, continuați să adăugați sau să scădeți numerele după virgulă până când găsiți pătratul cel mai apropiat de numărul din problemă.
- Înmulțiți 6, 4 cu 6, 4 pentru a obține 6, 4 × 6, 4 = 40, 96, care este puțin peste 40.
- Deoarece experimentul inițial a fost redundant, scadeți aproximarea cu o zecimală, care este 6, 3 × 6, 3 = 39, 69. Acest rezultat este puțin sub numărul din problemă. Aceasta înseamnă că rădăcina pătrată a lui 40 este între 6, 3 și 6, 4. Apoi, deoarece 39,69 este mai aproape de 40, rădăcina pătrată a lui 40 este, de asemenea, mai aproape de 6, 3.
Pasul 4. Transmite prognozele după cum este necesar
Folosiți-vă răspunsul dacă credeți că este suficient de corect. Dar dacă nu, continuați modelul aproximativ de mai sus până când găsiți un răspuns cu trei sau patru cifre după virgulă - oricum, până când ajungeți la nivelul de precizie dorit.
