În zilele dinaintea inventării calculatoarelor, studenții și profesorii trebuiau să calculeze rădăcinile pătrate manual. Au fost dezvoltate mai multe moduri diferite pentru a depăși acest proces dificil. Unele moduri oferă o estimare aproximativă, iar altele oferă o valoare exactă. Pentru a afla cum să găsiți rădăcina pătrată a unui număr folosind doar operații simple, consultați Pasul 1 de mai jos pentru a începe.
Etapa
Metoda 1 din 2: Utilizarea factorizării prime
Pasul 1. Împarte numărul tău în factori de pătrat perfect
Această metodă folosește factorii unui număr pentru a găsi rădăcina pătrată a numărului (în funcție de număr, răspunsul poate fi un număr exact sau o aproximare apropiată). Factorii unui număr sunt un set de alte numere care, atunci când sunt înmulțite, produc acel număr. De exemplu, ai putea spune că factorii 8 sunt 2 și 4 deoarece 2 × 4 = 8. Între timp, pătratele perfecte sunt numere întregi care sunt produsul altor numere întregi. De exemplu, 25, 36 și 49 sunt pătrate perfecte, deoarece sunt 52, 62și 72. După cum ați fi putut ghici, factorii pătrat perfecti sunt factori care sunt, de asemenea, pătrate perfecte. Pentru a începe să găsiți rădăcina pătrată prin factorizarea primă, încercați mai întâi să vă simplificați numărul la factorii pătrat perfecti.
- Să folosim un exemplu. Vrem să găsim manual rădăcina pătrată a 400. Pentru început, vom împărți numărul în factorii pătrat perfecti. Deoarece 400 este multiplu de 100, știm că 400 este divizibil cu 25 - un pătrat perfect. Cu o împărțire rapidă a umbrelor, descoperim că 400 împărțit la 25 este egal cu 16. Întâmplător, 16 este, de asemenea, un pătrat perfect. Astfel, factorii pătrat perfecti de 400 sunt 25 și 16 deoarece 25 × 16 = 400.
- Îl putem scrie ca: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
Pasul 2. Găsiți rădăcina pătrată a factorilor pătrat perfecți
Proprietatea de multiplicare a rădăcinii pătrate afirmă că pentru orice număr a și b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Datorită acestei proprietăți, acum putem găsi rădăcina pătrată a factorilor pătrați perfecți și le putem înmulți pentru a obține răspunsul nostru.
-
În exemplul nostru, vom găsi rădăcinile pătrate ale 25 și 16. Vezi mai jos:
- Rădăcină (25 × 16)
- Rădăcină (25) × Rădăcină (16)
-
5 × 4 =
Pasul 20.
Pasul 3. Dacă numărul dvs. nu poate fi luat în considerare perfect, simplificați-vă răspunsul la cea mai simplă formă
În viața reală, de multe ori numerele de care aveți nevoie pentru a găsi rădăcina pătrată nu sunt numere întregi plăcute, cu factori pătrați perfecți evident, cum ar fi 400. În aceste cazuri, este posibil să nu găsim răspunsul corect. Ca număr întreg. Cu toate acestea, găsind cât mai mulți factori pătrați perfecți, puteți găsi răspunsul sub forma unei rădăcini pătrate care este mai mică, mai simplă și mai ușor de calculat. Pentru a face acest lucru, reduceți numărul la o combinație de factori pătrat perfect și factori pătrat imperfect, apoi simplificați.
-
Să folosim rădăcina pătrată a lui 147 ca exemplu. 147 nu este produsul a două pătrate perfecte, deci nu putem obține valoarea întreagă exactă ca mai sus. Cu toate acestea, 147 este produsul unui pătrat perfect și al unui alt număr - 49 și 3. Putem folosi aceste informații pentru a scrie răspunsul nostru în forma sa cea mai simplă după cum urmează:
- Rădăcină (147)
- = Rădăcină (49 × 3)
- = Sqrt (49) × Sqrt (3)
- = 7 × Rădăcină (3)
Pasul 4. Dacă este necesar, estimați
Cu rădăcina pătrată în forma sa cea mai simplă, este de obicei destul de ușor să obțineți o estimare aproximativă a numărului de răspunsuri ghicind valoarea rădăcinii pătrate rămase și înmulțind-o. O modalitate de a vă ghida presupunerea este să căutați pătrate perfecte care sunt mai mari decât și mai mici decât numărul din rădăcina pătrată. Veți observa că valoarea zecimală a numărului din rădăcina pătrată este între cele două numere, astfel încât să puteți ghici valoarea dintre cele două numere.
-
Să ne întoarcem la exemplul nostru. pentru că 22 = 4 și 12 = 1, știm că rădăcina (3) este între 1 și 2 - probabil mai aproape de 2 decât 1. Estimăm 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9. Dacă verificăm răspunsul nostru pe calculator, putem vedea că răspunsul nostru este destul de apropiat de răspunsul real care este 12, 13.
Acest lucru se aplică și numerelor mai mari. De exemplu, Root (35) poate fi aproximat între 5 și 6 (posibil mai aproape de 6). 52 = 25 și 62 = 36. 35 este între 25 și 36, deci rădăcina pătrată trebuie să fie între 5 și 6. Deoarece 35 este doar una mai mică decât 36, putem spune cu încredere că rădăcina pătrată este puțin mai mică de 6. Verificarea cu un calculator va da-ne răspunsul este de aproximativ 5, 92 - avem dreptate.
Pasul 5. Alternativ, reduceți numărul dvs. la factorii săi cei mai puțin frecvenți ca prim pas
Găsirea factorilor pătratelor perfecte nu este necesară dacă puteți determina cu ușurință factorii primi ai unui număr (factori care sunt, de asemenea, numere prime). Scrieți numărul dvs. în funcție de factorii săi mai puțin comuni. Apoi, găsiți perechile de numere prime care se potrivesc factorilor dvs. Când găsiți doi factori primi care sunt aceiași, eliminați aceste două numere din rădăcina pătrată și plasați unul dintre aceste numere în afara rădăcinii pătrate.
-
De exemplu, găsiți rădăcina pătrată a 45 folosind această metodă. Știm că 45 × 5 și știm că sub 9 = 3 × 3. Astfel, putem scrie rădăcina noastră pătrată în termeni de factori ca acesta: Sqrt (3 × 3 × 5). Eliminați ambele 3 și puneți 3 în afara rădăcinii pătrate pentru a vă simplifica rădăcina pătrată la cea mai simplă formă: (3) Rădăcină (5).
De aici, vom fi ușor de estimat.
-
Ca ultim exemplu de problemă, să încercăm să găsim rădăcina pătrată a lui 88:
- Rădăcină (88)
- = Rădăcină (2 × 44)
- = Rădăcină (2 × 4 × 11)
- = Rădăcină (2 × 2 × 2 × 11). Avem vreo 2 în rădăcina noastră pătrată. Deoarece 2 este un număr prim, putem elimina o pereche de 2 și le putem pune pe unul în afara rădăcinii pătrate.
-
= Rădăcina noastră pătrată în forma sa cea mai simplă este (2) Sqrt (2 × 11) sau (2) Rădăcină (2) Rădăcină (11).
De aici, putem estima Sqrt (2) și Sqrt (11) și putem găsi răspunsul aproximativ după cum dorim.
Metoda 2 din 2: Găsirea manuală a rădăcinii pătrate
Utilizarea algoritmului Diviziei lungi
Pasul 1. Separați cifrele numărului dvs. în perechi
Această metodă utilizează un proces similar divizării lungi pentru a găsi exact rădăcina pătrată cifră cu cifră. Deși nu este obligatoriu, este posibil să vă fie mai ușor să efectuați acest proces dacă vă organizați vizual locul de muncă și numerele în părți ușor de lucrat. Mai întâi, trageți o linie verticală care împarte zona de lucru în două secțiuni, apoi trageți o linie orizontală mai scurtă în partea dreaptă sus pentru a împărți secțiunea dreaptă într-o secțiune superioară mai mică și o secțiune inferioară mai mare. Apoi, separați cifrele în perechi, începând cu punctul zecimal. De exemplu, urmând această regulă, 79.520.789.182, 47897 devine „7 95 20 78 91 82. 47 89 70”. Scrieți numărul dvs. în partea stângă sus.
De exemplu, să încercăm să calculăm rădăcina pătrată de 780, 14. Desenați două linii pentru a vă împărți locul de muncă ca mai sus și scrieți „7 80. 14” în stânga sus. Nu contează dacă cel mai stâng număr este un singur număr, și nu o pereche de numere. Veți scrie răspunsul dvs. (rădăcină pătrată 780, 14) în dreapta sus
Pasul 2. Găsiți cel mai mare număr întreg a cărui valoare pătrată este mai mică sau egală cu numărul (sau perechea de numere) din extrema stângă
Începeți din partea stângă a numărului dvs., atât perechi de numere, cât și numere simple. Găsiți cel mai mare pătrat perfect care este mai mic sau egal cu acest număr, apoi găsiți rădăcina pătrată a acestui pătrat perfect. Acest număr este n. Scrie n în dreapta sus și scrie pătratul lui n în cadranul dreapta jos.
În exemplul nostru, extrema stângă este numărul 7. Pentru că știm că 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, putem spune că n = 2 deoarece 2 este cel mai mare întreg a cărui valoare pătrată este mai mică sau egală cu 7. Scrieți 2 în cadranul din dreapta sus. Aceasta este prima cifră a răspunsului nostru. Scrieți 4 (valoarea pătrată de 2) în cadranul din dreapta jos. Acest număr este important pentru următorul pas.
Pasul 3. Scădeți numărul pe care tocmai l-ați calculat din perechea din stânga
Ca și în cazul divizării lungi, următorul pas este să scădem valoarea pătratului pe care tocmai l-am găsit din partea pe care tocmai am analizat-o. Scrie acest număr sub prima parte și scade-l, scriind răspunsul tău sub ea.
-
În exemplul nostru, vom scrie 4 sub 7, apoi îl vom scădea. Această scădere dă un răspuns
Pasul 3..
Pasul 4. Eliminați următoarea pereche
Mutați în jos următoarea secțiune a numărului pentru care căutați rădăcina pătrată, lângă valoarea de scădere pe care tocmai ați găsit-o. Apoi, înmulțiți numărul din cadranul superior dreapta cu două și scrieți răspunsul în cadranul inferior drept. Lângă numărul pe care tocmai l-ați notat, lăsați un spațiu pentru problema de multiplicare pe care o veți face în pasul următor scriind '"_ × _ ="'.
În exemplul nostru, următoarea pereche de numere noastre este „80”. Scrieți „80” lângă 3 în cadranul stâng. Apoi, înmulțiți numărul din dreapta sus cu două. Acest număr este 2, deci 2 × 2 = 4. Scrieți „'4”' în cadranul din dreapta jos, urmat de _×_=.
Pasul 5. Completați spațiile libere din cadranul drept
Trebuie să completați toate spațiile goale pe care tocmai le-ați scris în cadranul drept cu același număr întreg. Acest număr întreg trebuie să fie cel mai mare număr întreg care face ca produsul din cadranul drept să fie mai mic sau egal cu numărul din stânga.
În exemplul nostru, completăm spațiile libere cu 8, rezultând 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Această valoare este mai mare decât 384. Astfel, 8 este prea mare, dar 7 ar putea funcționa. Scrieți 7 în spațiile libere și rezolvați: 4 (7) × 7 = 329. 7 este un număr corect deoarece 329 este mai mic decât 380. Scrieți 7 în cadranul din dreapta sus. Aceasta este a doua cifră din rădăcina pătrată a 780, 14
Pasul 6. Scădeți numărul pe care tocmai l-ați calculat din numărul din stânga
Continuați cu lanțul de scădere folosind metoda divizării lungi. Luați produsul problemei în cadranul drept și scădeți-l din numărul care este acum în stânga, în timp ce scrieți răspunsurile dvs. mai jos.
În exemplul nostru, vom scădea 329 din 380, ceea ce dă rezultatul 51.
Pasul 7. Repetați pasul 4
Derivați următoarea parte a numărului pentru care căutați rădăcina pătrată. Când ajungeți la punctul zecimal din numărul dvs., scrieți punctul zecimal în răspunsul dvs. în cadranul din dreapta sus. Apoi, înmulțiți numărul din dreapta sus cu 2 și scrieți-l lângă problema de multiplicare necompletată („_ × _”) ca mai sus.
În exemplul nostru, deoarece avem de-a face acum cu punctul zecimal în 780, 14, scrieți punctul zecimal după răspunsul nostru curent în dreapta sus. Apoi, coborâți următoarea pereche (14) în cadranul stâng. De două ori numărul din dreapta sus (27) este egal cu 54, deci scrieți „54 _ × _ =” în cadranul din dreapta jos
Pasul 8. Repetați pașii 5 și 6
Găsiți cea mai mare cifră pentru a completa spațiile libere din dreapta, care oferă un răspuns mai mic sau egal cu numărul din stânga. Apoi, rezolvați problema.
În exemplul nostru, 549 × 9 = 4941, care este mai mic sau egal cu numărul din stânga (5114). 549 × 10 = 5490 este prea mare, deci 9 este răspunsul tău. Scrieți 9 ca cifră următoare în cadranul din dreapta sus și scădeți produsul din numărul din stânga: 5114 minus 4941 este egal cu 173
Pasul 9. Pentru a continua numărarea cifrelor, coborâți perechea de zerouri din stânga și repetați pașii 4, 5 și 6
Pentru o precizie mai mare, continuați acest proces pentru a găsi sutele, mii și mai multe locuri din răspunsul dvs. Continuați să utilizați acest ciclu până când găsiți zecimalul dorit.
Înțelegerea procesului
Pasul 1. Imaginați-vă numărul din care ați calculat rădăcina pătrată ca fiind aria S a unui pătrat
Deoarece aria unui pătrat este P2 unde P este lungimea uneia dintre laturi, apoi încercând să găsiți rădăcina pătrată a numărului dvs., încercați de fapt să calculați lungimea P a acelei laturi a pătratului.
Pasul 2. Determinați variabilele literelor pentru fiecare cifră a răspunsului dvs
Setați variabila A ca prima cifră a lui P (rădăcina pătrată pe care încercăm să o calculăm). B va fi a doua cifră, C a treia cifră și așa mai departe.
Pasul 3. Determinați variabilele literelor pentru fiecare parte a numărului dvs. de plecare
Setați variabila SA pentru prima pereche de cifre din S (valoarea inițială), Sb pentru a doua pereche de cifre etc.
Pasul 4. Înțelegeți relația dintre această metodă și divizarea lungă
Această metodă de găsire a rădăcinii pătrate este în esență o problemă de divizare lungă care împarte numărul inițial la rădăcina pătrată, oferindu-vă rădăcina pătrată a răspunsului. La fel ca în problema divizării lungi, te interesează doar următoarea cifră din fiecare pas. În acest fel, sunteți interesat doar de următoarele două cifre din fiecare pas (care este următoarea cifră din fiecare pas pentru rădăcina pătrată).
Pasul 5. Găsiți cel mai mare număr a cărui valoare pătrată este mai mică sau egală cu SA.
Prima cifră a lui A din răspunsul nostru este cel mai mare număr întreg a cărui valoare pătrată nu depășește SA (adică A astfel încât A² Sa <(A + 1) ²). În exemplul nostru, SA = 7 și 2² 7 <3², deci A = 2.
Rețineți că, de exemplu, dacă ați dorit să împărțiți 88962 la 7 folosind o divizare lungă, primii pași sunt cam aceiași: veți vedea prima cifră a 88962 (care este 8) și căutați cea mai mare cifră care, atunci când este înmulțit cu 7, este mai mic sau egal cu 8 Practic, căutați d astfel încât 7 × d 8 <7 × (d + 1). În acest caz, d va fi egal cu 1
Pasul 6. Imaginați-vă valoarea pătratului pe a cărui suprafață veți începe să lucrați
Răspunsul dvs., rădăcina pătrată a numărului dvs. de plecare, este P, care descrie lungimea pătratului cu aria S (numărul dvs. de plecare). Notele dvs. pentru A, B, C, reprezintă cifrele din valoarea lui P. Un alt mod de a spune acest lucru este 10A + B = P (pentru un răspuns din două cifre), 100A + 10B + C = P (pentru un număr de trei răspuns de cifre) etc.
În exemplul nostru, (10A + B) ² = P2 = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Amintiți-vă că 10A + B reprezintă răspunsul nostru, P, cu B în poziția celor și A în poziția zecilor. De exemplu, cu A = 1 și B = 2, atunci 10A + B este egal cu 12. (10A + B) ² este suprafața totală a pătratului, în timp ce 100A² este zona celui mai mare pătrat din el, B² este aria celui mai mic pătrat din acesta și 10A × B este aria celor două dreptunghiuri rămase. Făcând acest proces lung și complicat, găsim aria totală a unui pătrat adăugând suprafețele pătratelor și dreptunghiurilor din interior.
Pasul 7. Se scade A² din SA.
Reduceți o pereche de cifre (Sb) din S. Valoarea lui SA Sb aproape de suprafața totală a pătratului, pe care tocmai l-ați folosit pentru a scădea pătratul interior mai mare. Restul poate fi considerat numărul N1, pe care l-am obținut la pasul 4 (N1 = 380 în exemplul nostru). N1 este egal cu 2 și ori: 10A × B + B² (aria celor două dreptunghiuri plus aria pătratului mai mic).
Pasul 8. Găsiți N1 = 2 × 10A × B + B², care este, de asemenea, scris ca N1 = (2 × 10A + B) × B
În exemplul nostru, știți deja N1 (380) și A (2), deci trebuie să găsiți B. B cel mai probabil nu este un număr întreg, deci trebuie să găsiți cel mai mare număr întreg B astfel încât (2 × 10A + B) × B N1. Deci aveți: N1 <(2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
Pasul 9. Terminați
Pentru a rezolva această ecuație, înmulțiți A cu 2, deplasați rezultatul în poziția zecilor (echivalentul înmulțirii cu 10), puneți B în poziția celor și înmulțiți numărul cu B. Cu alte cuvinte, rezolvați (2 × 10A + B) × B. Aceasta este exact ceea ce faci când scrii „N_ × _ =” (cu N = 2 × A) în cadranul din dreapta jos la pasul 4. În pasul 5, găsești cel mai mare număr întreg B care corespunde numărul de sub el astfel încât (2 × 10A + B) × B N1.
Pasul 10. Se scade aria (2 × 10A + B) × B din aria totală
Această scădere are ca rezultat aria S- (10A + B) ² care nu a fost calculată (și care va fi utilizată pentru a calcula următoarea cifră în același mod).
Pasul 11. Pentru a calcula următoarea cifră, C, repetați procesul
Coborâți următoarea pereche (Sc) din S pentru a obține N2 în stânga și găsiți cel mai mare C astfel încât să aveți (2 × 10 × (10A + B) + C) × C N2 (echivalent cu scrierea de două ori a numărului din două cifre „AB” urmat de "_ × _ =". Găsiți cea mai mare cifră potrivită în spațiile libere, care oferă un răspuns mai mic sau egal cu N2, ca înainte.
sfaturi
- Deplasarea unui punct zecimal cu un multiplu de două cifre într-un număr (multiplu de 100) înseamnă deplasarea unui punct zecimal cu un multiplu de o cifră în rădăcina sa pătrată (multiplu de 10).
- În acest exemplu, 1,73 poate fi considerat un "rest": 780, 14 = 27, 9² + 1,73.
- Această metodă poate fi utilizată pentru orice bază, nu doar pentru baza 10 (zecimală).
- Puteți utiliza calculul care este mai convenabil pentru dvs. Unii oameni scriu rezultatul deasupra numărului inițial.
- O modalitate alternativă de utilizare a fracțiilor repetate este urmarea acestei formule: z = (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + …))). De exemplu, pentru a calcula rădăcina pătrată a lui 780, 14, întregul a cărui valoare pătrată este cea mai apropiată de 780, 14 este 28, deci z = 780, 14, x = 28 și y = -3, 86. Introducerea valorilor și calculând estimări numai pentru x + y / (2x) se obține (în termeni simpli) 78207/20800 sau aproximativ 27, 931 (1); termenul următor, 4374188/156607 sau aproximativ 27, 930986 (5). Fiecare termen adaugă aproximativ 3 zecimale la exactitatea numărului anterior de zecimale.
