Un vector este o mărime fizică care are atât magnitudine, cât și direcție (de exemplu, viteză, accelerație și deplasare), spre deosebire de un scalar care constă doar din magnitudine (de exemplu, viteză, distanță sau energie). Dacă scalarele pot fi adăugate adăugând magnitudini (de exemplu, 5 kJ de lucru plus 6 kJ de lucru este egal cu 11 kJ de lucru), vectorii sunt un pic dificil de adunat sau scădea. Consultați Pasul 1 de mai jos pentru a afla câteva modalități de a adăuga sau scădea vectori.
Etapa
Metoda 1 din 3: Adunarea și scăderea vectorilor ale căror componente sunt cunoscute
Pasul 1. Notați componentele dimensionale ale vectorului în notație vectorială
Deoarece vectorii au magnitudine și direcție, de obicei pot fi defalcați în părți pe baza dimensiunilor x, y și / sau z. Aceste dimensiuni sunt de obicei scrise într-o notație similară pentru a descrie un punct dintr-un sistem de coordonate (de exemplu, și altele). Dacă cunoașteți această parte, adăugarea sau scăderea vectorilor este foarte ușoară, trebuie doar să adăugați sau să scăpați coordonatele lor x, y și z.
- Observați dacă dimensiunile vectorului sunt 1, 2 sau 3. Astfel, vectorul poate avea componente x, x și y, sau x, y și z. Următorul nostru exemplu folosește un vector 3-dimensional, dar procesul este ca un vector 1 sau 2-dimensional.
- Să presupunem că avem doi vectori tridimensionali, vectorul A și vectorul B. Putem scrie acești vectori folosind notația vectorială cum ar fi A = și B =, unde a1 și a2 sunt x componente, b1 și b2 sunt y componente și c1 și c2 sunt componente z.
Pasul 2. Pentru a adăuga cei doi vectori, adăugați componentele lor
Dacă cele două componente ale unui vector sunt cunoscute, puteți adăuga vectorii adăugând componentele fiecăruia. Cu alte cuvinte, adăugați componenta x a primului vector la componenta x a celui de-al doilea vector și faceți același lucru pentru y și z. Răspunsul pe care îl obțineți din adunarea componentelor x, y și z ale acestor vectori sunt componentele x, y și z ale noului dvs. vector.
- In termeni generali, A + B =.
- Să adăugăm doi vectori A și B. A = și B =. A + B = sau.
Pasul 3. Pentru a scădea ambii vectori, scăpați componentele lor
După cum vom discuta mai târziu, scăderea unui vector din altul poate fi considerată ca adăugarea vectorilor săi reciproci. Dacă sunt cunoscute componentele ambilor vectori, este posibil să se scadă un vector din altul prin scăderea primei componente din a doua componentă (sau prin adăugarea componentelor negative ale ambelor).
- In termeni generali, A-B =
- Să scădem doi vectori A și B. A = și B =. A - B = sau.
Metoda 2 din 3: Adunarea și scăderea cu imagini folosind metoda Capului și a Cozii
Pasul 1. Simbolizează vectorul desenându-l folosind capul și coada
Deoarece vectorii au atât amploare cât și direcție, putem spune că au coadă și cap. Cu alte cuvinte, un vector are un punct de plecare și un punct final care indică direcția vectorului a cărei distanță de punctul de plecare este egală cu magnitudinea vectorului. Când este desenat, vectorul ia forma unei săgeți. Vârful săgeții este capul vectorului, iar capătul liniei vectoriale este coada.
Dacă creați un desen vectorial cu dimensiuni, va trebui să măsurați și să desenați cu exactitate toate colțurile. Unghiul greșit al imaginii va afecta rezultatul rezultat atunci când se adaugă sau se scade doi vectori folosind această metodă
Pasul 2. Pentru a adăuga, desena sau muta al doilea vector astfel încât coada să se întâlnească cu capul primului vector
Aceasta se numește combinarea vectorilor cap-coadă. Dacă tocmai adăugați doi vectori, iată ce trebuie să faceți înainte de a găsi vectorul rezultat.
Rețineți că ordinea în care adăugați vectori nu contează, presupunând că utilizați același punct de plecare. Vectorul A + Vectorul B = Vectorul B + Veltor A
Pasul 3. Pentru a scădea, adăugați un semn negativ la vector
Reducerea vectorilor folosind imagini este foarte simplă. Inversați direcția vectorului, dar păstrați magnitudinea la fel și adăugați capul și coada vectorului, ca de obicei. Cu alte cuvinte, pentru a scădea un vector, rotiți vectorul 180o și adună.
Pasul 4. Dacă adăugați sau scădeți mai mult de doi vectori, combinați toți vectorii într-o ordine de la cap la coadă
Ordinea fuziunii nu contează. Această metodă poate fi utilizată indiferent de numărul de vectori.
Pasul 5. Desenați un nou vector de la coada primului vector până la capul ultimului vector
Fie că adăugați / scădeți doi vectori sau o sută, vectorul care se extinde de la punctul inițial inițial (coada primului vector) până la punctul final al ultimului dvs. vector (capul ultimului dvs. vector) este vectorul rezultat sau suma tuturor vectorilor tăi. Rețineți că acest vector este exact același cu vectorul obținut prin adunarea tuturor componentelor x, y și / sau z.
- Dacă atrageți toți vectorii la dimensiune, măsurând corect toate unghiurile, puteți determina magnitudinea vectorului rezultat măsurând lungimea. De asemenea, puteți măsura unghiul dintre rezultat și orice vector orizontal sau vertical pentru a determina direcția acestuia.
- Dacă nu trageți toți vectorii la dimensiune, poate fi necesar să calculați magnitudinea rezultatului folosind trigonometria. Poate că Regulile Sin și Cosinus vă vor ajuta. Dacă adăugați mai mult de doi vectori, este util să adăugați primul vector cu al doilea, apoi adăugați rezultatul celui de-al doilea la al treilea și așa mai departe. Consultați următoarele secțiuni pentru mai multe informații.
Pasul 6. Desenați vectorul rezultat folosind magnitudinea și direcția sa
Un vector este definit de lungimea și direcția sa. Ca mai sus, presupunând că ați desenat vectorul cu precizie, magnitudinea noului vector este lungimea acestuia și direcția acestuia este unghiul relativ la direcția verticală sau orizontală. Utilizați vectorii unitari pe care îi adăugați sau scădeți pentru a determina unitățile pentru magnitudinea vectorului rezultat.
De exemplu, dacă vectorii adăugați reprezintă viteza în ms-1, atunci vectorul rezultat poate fi definit ca "viteza x ms-1 împotriva lui o spre direcția orizontală.
Metoda 3 din 3: Adăugarea și scăderea vectorilor prin specificarea componentelor dimensionale vectoriale
Pasul 1. Folosiți trigonometria pentru a determina componentele unui vector
Pentru a găsi componentele unui vector, de obicei trebuie să îi cunoașteți magnitudinea și direcția în raport cu direcția orizontală sau verticală și să înțelegeți trigonometria. Presupunând un vector bidimensional, mai întâi, gândiți-vă la vectorul dvs. ca la hipotenuza unui triunghi dreptunghic ale cărui două laturi sunt paralele cu direcțiile x și y. Aceste două părți pot fi considerate ca fiind componente ale unui vector cap-coadă care se adună pentru a-ți forma vectorul.
- Lungimile ambelor părți sunt egale cu componentele x și y ale vectorului dvs. și pot fi calculate folosind trigonometria. Dacă x este o mărime vectorială, latura adiacentă unghiului vectorial (relativ la direcția orizontală, verticală și alte direcții) este xcos (θ), în timp ce partea opusă este xsin (θ).
- De asemenea, este foarte important să rețineți direcția componentelor dvs. Dacă componenta indică o coordonată negativă, i se dă un semn negativ. De exemplu, într-un plan bidimensional, dacă o componentă este îndreptată spre stânga sau în jos, aceasta este negativă.
- De exemplu, să presupunem că avem un vector cu magnitudinea 3 și direcția 135o relativ la orizontală. Cu aceste informații, putem determina că componenta x este 3cos (135) = - 2, 12 iar componenta y este 3sin (135) = 2, 12
Pasul 2. Adăugați sau scădeți doi sau mai mulți vectori înrudiți
După ce ați găsit componentele tuturor vectorilor dvs., adăugați-le pentru a găsi componentele vectorului rezultat. Mai întâi, adăugați toate mărimile componentelor orizontale (care sunt paralele cu direcția x). Separat, adăugați toate mărimile componentelor verticale (care sunt paralele cu direcția y). Dacă o componentă este negativă (-), magnitudinea sa este scăzută, nu adăugată. Răspunsul pe care îl primiți este componenta vectorului rezultat.
De exemplu, vectorul de la pasul anterior,, este adăugat la vector. În acest caz, vectorul rezultat devine sau
Pasul 3. Calculați magnitudinea vectorului rezultat folosind teorema lui Pitagora
Teorema lui Pitagora c2= a2+ b2, este folosit pentru a găsi lungimea laturii unui triunghi dreptunghiular. Deoarece triunghiul format de vectorul nostru rezultat și componentele sale este un triunghi dreptunghi, îl putem folosi pentru a găsi lungimea și magnitudinea vectorului. Cu c ca magnitudine a vectorului rezultat, pe care îl căutați, să presupunem că a este magnitudinea componentei x și b este magnitudinea componentei y. Rezolvați folosind algebra.
-
Pentru a găsi magnitudinea vectorului ale cărui componente le-am căutat în pasul anterior, utilizați teorema lui Pitagora. Rezolvați după cum urmează:
- c2=(3, 66)2+(-6, 88)2
- c2=13, 40+47, 33
- c = √60, 73 = 7, 79
Pasul 4. Calculați direcția rezultată folosind funcția Tangent
În cele din urmă, găsiți vectorul rezultat al direcției. Folosiți formula = tan-1(b / a), unde este dimensiunea unghiului format în direcția x sau orizontală, b este dimensiunea componentei y și a este dimensiunea componentei x.
-
Pentru a găsi direcția vectorului nostru, utilizați = tan-1(b / a).
- = bronz-1(-6, 88/3, 66)
- = bronz-1(-1, 88)
- = -61, 99o
Pasul 5. Desenați vectorul rezultat în funcție de magnitudinea și direcția sa
După cum s-a scris mai sus, vectorii sunt definiți de amploarea și direcția lor. Asigurați-vă că utilizați unitățile adecvate pentru dimensiunea vectorului.
De exemplu, dacă exemplul nostru vector reprezintă o forță (în Newtons), atunci o putem scrie "forță 7,79 N cu -61,99 o la orizontală ".
sfaturi
- Vectorul este diferit de mare.
- Vectorii cu aceeași direcție pot fi adăugați sau scăpați prin adăugarea sau scăderea mărimilor lor. daca tu rezumați doi vectori care sunt opuși, magnitudinile lor sunt scăzute, nu adăugate.
- Vectorii reprezentați sub forma x i + y j + z k pot fi adăugați sau scădați prin adăugarea sau scăderea coeficienților celor trei vectori unitari. Răspunsul este, de asemenea, sub forma i, j și k.
- Puteți găsi dimensiunea unui vector tridimensional folosind formula a2= b2+ c2+ d2 unde a este magnitudinea vectorului și b, c și d sunt componentele fiecărei direcții.
- Vectorii de coloană pot fi adăugați și scădați prin adăugarea sau scăderea valorilor fiecărui rând.
