Două fracții sunt echivalente dacă au aceeași valoare. Știind cum să convertim fracțiile în formele lor echivalente este o abilitate extrem de importantă în matematică, necesară pentru toate formele de matematică, de la algebră de bază la calcul avansat. Acest articol va oferi mai multe moduri de a calcula fracții echivalente de la înmulțirea și împărțirea de bază la modalități mai complexe de rezolvare a ecuațiilor fracționale echivalente.
Etapa
Metoda 1 din 5: Aranjarea fracțiilor echivalente
Pasul 1. Înmulțiți numărătorul și numitorul cu același număr
Două fracții diferite, dar echivalente, au, prin definiție, un numărător și un numitor care sunt multipli între ei. Cu alte cuvinte, înmulțirea numărătorului și numitorului unei fracții cu același număr va produce fracții echivalente. Deși numerele din noua fracție vor fi diferite, fracțiile vor avea aceeași valoare.
- De exemplu, dacă luăm fracția 4/8 și înmulțim numărătorul și numitorul cu 2, obținem (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Aceste două fracții sunt echivalente.
- (4 × 2) / (8 × 2) este de fapt același cu 4/8 × 2/2. Amintiți-vă că atunci când înmulțiți două fracții, înmulțim drept, adică numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul.
- Rețineți că 2/2 este egal cu 1 dacă faceți împărțirea. Astfel, este mai ușor să înțelegem de ce 4/8 și 8/16 sunt echivalente, deoarece înmulțirea 4/8 × (2/2) = rămâne 4/8. În același mod, este la fel ca a spune 4/8 = 8/16.
- Orice fracție dată are un număr infinit de fracții echivalente. Puteți înmulți atât numărătorul, cât și numitorul cu orice număr întreg, indiferent de mărime sau mic, pentru a obține o fracție echivalentă.
Pasul 2. Împarte numeratorul și numitorul la același număr
La fel ca înmulțirea, împărțirea poate fi folosită și pentru a găsi o nouă fracție echivalentă cu fracția inițială. Doar împărțiți numărătorul și numitorul unei fracții la același număr pentru a obține fracția echivalentă. Există un dezavantaj în acest proces - fracția finală trebuie să aibă numere întregi atât în numărător, cât și în numitor pentru a fi adevărată.
De exemplu, să ne uităm înapoi la 4/8. Dacă, în loc să înmulțim, împărțim atât numărătorul, cât și numitorul la 2, obținem (4 2) / (8 2) = 2/4. 2 și 4 sunt numere întregi, deci aceste fracții echivalente sunt adevărate
Metoda 2 din 5: Utilizarea multiplicării de bază pentru a determina egalitatea
Pasul 1. Găsiți numărul care trebuie înmulțit cu numitorul mai mic pentru a obține numitorul mai mare
Multe probleme legate de fracții implică determinarea dacă două fracții sunt echivalente. Calculând acest număr, puteți începe să egalizați termenii fracționari pentru a determina egalitatea.
- De exemplu, refolosiți fracțiile 4/8 și 8/16. Numitorul mai mic este 8 și trebuie să înmulțim numărul cu 2 pentru a obține numitorul mai mare, care este 16. Deci, numărul în acest caz este 2.
- Pentru numere mai dificile, puteți împărți numitorul mai mare la numitorul mai mic. În acest caz, 16 este împărțit la 8, ceea ce produce încă 2.
- Numărul nu este întotdeauna un număr întreg. De exemplu, dacă numitorii sunt 2 și 7, atunci numărul este 3, 5.
Pasul 2. Înmulțiți numărătorul și numitorul fracției care are termenul mai mic cu numărul de la primul pas
Două fracții diferite, dar echivalente au, prin definiție, numărător și numitor care sunt multipli între ei. Cu alte cuvinte, înmulțirea numărătorului și numitorului unei fracții cu același număr va produce o fracție echivalentă. Deși numerele din această nouă fracție vor fi diferite, aceste fracții vor avea aceeași valoare.
De exemplu, dacă folosim fracția 4/8 de la pasul unu și înmulțim numărătorul și numitorul cu numărul pe care l-am definit anterior, care este 2, vom obține (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Acest rezultat demonstrează că aceste două fracții sunt echivalente.
Metoda 3 din 5: Utilizarea diviziunii de bază pentru a determina egalitatea
Pasul 1. Numărați fiecare fracție ca număr zecimal
Pentru fracțiile simple fără variabile, puteți reprezenta fiecare fracție ca un număr zecimal pentru a determina egalitatea. Deoarece fiecare fracție este de fapt o problemă de divizare, aceasta este cea mai simplă modalitate de a determina egalitatea.
- De exemplu, utilizați fracțiunea pe care am folosit-o anterior, 4/8. Fracția 4/8 este echivalentă cu a spune 4 împărțit la 8, care este 4/8 = 0,5. De asemenea, puteți rezolva celălalt exemplu, care este 8/16 = 0,5. Indiferent de termenii dintr-o fracție, fracția este echivalentă dacă ambele numere sunt aceleași atunci când sunt reprezentate în zecimal.
- Rețineți că expresiile zecimale pot avea mai multe cifre înainte ca egalitatea să fie evidentă. Ca exemplu de bază, 1/3 = 0,333 se repetă în timp ce 3/10 = 0,3. Folosind mai mult de o cifră, vedem că aceste două fracții nu sunt echivalente.
Pasul 2. Împarte numeratorul și numitorul unei fracții la același număr pentru a obține o fracție echivalentă
Pentru fracțiile mai complexe, metoda împărțirii necesită pași suplimentari. În timp ce prin multiplicare, puteți împărți numărătorul și numitorul unei fracții la același număr pentru a obține o fracție echivalentă. Există un dezavantaj în acest proces. Fracția finală trebuie să aibă numere întregi atât în numărător, cât și în numitor pentru a fi adevărată.
De exemplu, să ne uităm înapoi la 4/8. Dacă, în loc să înmulțim, împărțim numărătorul și numitorul cu 2, obținem (4 2) / (8 2) = 2/4. 2 și 4 sunt numere întregi, deci aceste fracții echivalente sunt adevărate.
Pasul 3. Simplificați fracțiile la termenii lor cei mai simpli
Majoritatea fracțiilor sunt de obicei scrise în termenii lor cei mai simpli și puteți converti fracțiile în forma lor cea mai simplă împărțind la cel mai mare factor comun (PIB). Acest pas se face în aceeași logică ca și scrierea fracțiilor echivalente, transformându-le în același numitor, dar această metodă încearcă să simplifice fiecare fracție la termenii săi cei mai mici.
- Când o fracție este în forma sa cea mai simplă, numărătorul și numitorul au cele mai mici valori posibile. Ambele nu pot fi împărțite la niciun număr întreg pentru a obține valoarea mai mică. Pentru a converti o fracție care nu este în forma sa cea mai simplă în cea mai simplă formă echivalentă, împărțim numărătorul și numitorul la cel mai mare factor comun al acestora.
-
Cel mai mare factor comun (MCD) al numărătorului și numitorului este cel mai mare număr care le împarte pentru a da un rezultat întreg. Deci, în exemplul nostru 4/8, pentru că
Pasul 4. este cel mai mare număr care este divizibil cu 4 și 8, vom împărți numărătorul și numitorul fracției noastre la 4 pentru a obține cei mai simpli termeni. (4 4) / (8 4) = 1/2. Pentru celălalt exemplu, 8/16, GCF este 8, care returnează și valoarea 1/2 ca cea mai simplă expresie a unei fracții.
Metoda 4 din 5: Utilizarea produselor încrucișate pentru a găsi variabile
Pasul 1. Aranjați cele două fracții astfel încât să fie egale una cu cealaltă
Folosim înmulțirea încrucișată pentru probleme de matematică unde știm că fracțiile sunt echivalente, dar unul dintre numere a fost înlocuit cu o variabilă (de obicei x) pe care trebuie să o rezolvăm. În astfel de cazuri, știm că aceste fracții sunt echivalente deoarece sunt singurii termeni de cealaltă parte a semnului egal, dar de multe ori modul de a găsi variabila nu este evident. Din fericire, cu multiplicarea încrucișată, rezolvarea acestor tipuri de probleme este ușoară.
Pasul 2. Luați două fracții echivalente și înmulțiți-le cu o formă "X"
Cu alte cuvinte, înmulțiți numărătorul unei fracții cu numitorul altei fracții și invers, apoi aranjați cele două răspunsuri pentru a se potrivi și a rezolva.
Luați cele două exemple ale noastre, 4/8 și 8/16. Niciunul dintre ei nu are o variabilă, dar putem demonstra conceptul, deoarece știm deja că sunt echivalente. Prin multiplicarea încrucișată, obținem 4/16 = 8 x 8 sau 64 = 64, ceea ce este adevărat. Dacă aceste două numere nu sunt egale, atunci fracțiile nu sunt echivalente
Pasul 3. Adăugați variabile
Deoarece multiplicarea încrucișată este cel mai simplu mod de a determina fracții echivalente atunci când trebuie să găsiți variabile, să adăugăm variabile.
-
De exemplu, să folosim ecuația 2 / x = 10/13. Pentru a încrucișa înmulțim, înmulțim 2 cu 13 și 10 cu x, apoi stabilim răspunsurile noastre egale unul cu celălalt:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. De aici, găsirea răspunsului la variabila noastră este o problemă simplă de algebră. x = 26/10 = 2, 6, făcând fracția echivalentă inițială 2/2, 6 = 10/13.
Pasul 4. Folosiți multiplicarea încrucișată pentru fracții cu variabile multiple sau expresii variabile
Unul dintre cele mai bune lucruri despre multiplicarea încrucișată este că funcționează la fel, indiferent dacă lucrați cu două fracții simple (ca mai sus) sau fracții mai complexe. De exemplu, dacă ambele fracții au variabile, trebuie doar să eliminați aceste variabile în procesul de rezolvare. În mod similar, dacă numeratorul sau numitorul fracțiunii dvs. are o expresie variabilă (cum ar fi x + 1), doar „multiplicați-o” folosind proprietatea distributivă și rezolvați ca de obicei.
-
De exemplu, să folosim ecuația ((x + 3) / 2) = ((x + 1) / 4). În acest caz, la fel ca mai sus, îl vom rezolva prin produs încrucișat:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, atunci putem simplifica fracția scăzând 2x din ambele părți
- 2 = 2x + 12, apoi izolăm variabila scăzând 12 din ambele părți
- -10 = 2x și împarte la 2 pentru a găsi x
- - 5 = x
Metoda 5 din 5: Utilizarea formulelor quadratice pentru a găsi variabile
Pasul 1. Treceți cele două fracții
Pentru problemele de egalitate care necesită o formulă pătratică, începem în continuare prin utilizarea produsului încrucișat. Cu toate acestea, orice produs încrucișat care implică înmulțirea termenilor unei variabile cu termenii unei alte variabile are ca rezultat o expresie care nu poate fi ușor rezolvată folosind algebră. În astfel de cazuri, poate fi necesar să utilizați tehnici precum factoring și / sau formule pătratice.
-
De exemplu, să ne uităm la ecuația ((x +1) / 3) = (4 / (2x - 2)). Mai întâi, să încrucișăm multiplicarea:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
Pasul 2. Scrieți ecuația ca o ecuație pătratică
În această secțiune, dorim să scriem această ecuație în formă pătratică (ax2 + bx + c = 0), ceea ce facem prin setarea ecuației egală cu zero. În acest caz, scădem 12 din ambele părți pentru a obține 2x2 - 14 = 0.
Unele valori pot fi egale cu 0. Chiar dacă 2x2 - 14 = 0 este cea mai simplă formă a ecuației noastre, ecuația pătratică reală este 2x2 + 0x + (-14) = 0. Poate fi util la început să scrieți forma ecuației pătratice chiar dacă unele valori sunt egale cu 0.
Pasul 3. Rezolvați conectând numerele din ecuația pătratică la formula pătratică
Formula quadratică (x = (-b +/- (b2 - 4ac)) / 2a) ne va ajuta să găsim valoarea noastră x în această secțiune. Nu vă fie frică de lungimea formulei. Trebuie doar să luați valorile din ecuația pătratică din pasul doi și să le puneți în locurile potrivite înainte de a le rezolva.
- x = (-b +/- (b2 - 4ac)) / 2a. În ecuația noastră, 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0 și c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- (0 - -112)) / 2 (2)
- x = (+/- (112)) / 2 (2)
- x = (+/- 10.58 / 4)
- x = +/- 2, 64
Pasul 4. Verificați răspunsul reintroducând valoarea lui x în ecuația pătratică
Prin conectarea valorii x calculate înapoi la ecuația pătratică de la pasul doi, puteți determina cu ușurință dacă ați primit răspunsul corect. În acest exemplu, veți conecta 2, 64 și -2, 64 în ecuația pătratică originală.
sfaturi
- Conversia unei fracții în echivalentul ei este de fapt o formă de înmulțire a unei fracții cu 1. În conversia 1/2 la 2/4, înmulțirea numărătorului și numitorului cu 2 este la fel ca înmulțirea 1/2 cu 2/2, care este egal cu 1.
-
Dacă doriți, convertiți numărul mixt într-o fracție comună pentru a face conversia mai ușoară. Desigur, nu toate fracțiile pe care le întâlniți vor fi la fel de ușoare ca și conversia exemplului nostru 4/8 de mai sus. De exemplu, numerele mixte (cum ar fi 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 etc.) pot face procesul de conversie un pic mai complicat. Dacă trebuie să convertiți un număr mixt într-o fracție comună, puteți face acest lucru în două moduri: convertind numărul mixt într-o fracție comună, apoi transformându-l ca de obicei, sau prin menținerea formei numerelor mixte și obținerea de răspunsuri sub forma numerelor mixte.
- Pentru a converti într-o fracție comună, înmulțiți componenta întreagă a numărului mixt cu numitorul componentei fracționare și apoi adăugați la numărător. De exemplu, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2) / 3 = 5/3. Apoi, dacă doriți, îl puteți schimba după cum este necesar. De exemplu, 5/3 × 2/2 = 10/6, care rămâne egal cu 1 2/3.
- Cu toate acestea, nu trebuie să-l convertim într-o fracție comună ca mai sus. În caz contrar, lăsăm componenta întreagă în pace, schimbăm doar componenta fracțională și adăugăm componenta întreagă neschimbată. De exemplu, pentru 3 4/16, vedem doar 4/16. 4/16 4/4 = 1/4. Deci, adăugând componentele noastre întregi înapoi, obținem un nou număr mixt, 3 1/4.
Avertizare
- Înmulțirea și împărțirea pot fi utilizate pentru a obține fracții echivalente, deoarece înmulțirea și împărțirea cu forma fracțională a numărului 1 (2/2, 3/3 etc.) oferă un răspuns care este echivalent cu fracția inițială, prin definiție. Adunarea și scăderea nu pot fi utilizate.
-
Chiar dacă înmulțești numeratorii și numitorii atunci când înmulțești fracțiile, nu aduni sau scazi numitorii atunci când aduni sau scazi fracții.
De exemplu, mai sus, știm că 4/8 4/4 = 1/2. Dacă adunăm până la 4/4, vom obține un răspuns complet diferit. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 sau 3/2, nu sunt egale cu 4/8.
