3 moduri de a rezolva logaritmii

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-01-15 08:22

Logaritmii pot părea dificil de rezolvat, dar rezolvarea problemelor logaritmice este de fapt mult mai simplă decât s-ar putea crede, deoarece logaritmii sunt doar un alt mod de a scrie ecuații exponențiale. După ce ați rescris logaritmul într-o formă mai familiară, ar trebui să îl puteți rezolva așa cum ați face orice altă ecuație exponențială obișnuită.

Etapa

Înainte de a începe: învățați să exprimați ecuațiile logaritmice în mod exponențial

Pasul 1. Înțelegeți definiția logaritmului

Înainte de a rezolva ecuațiile logaritmice, trebuie să înțelegeți că logaritmii sunt practic un alt mod de a scrie ecuații exponențiale. Definiția exactă este următoarea:

• y = jurnal_b (X)

  Dacă și numai dacă: b^y = x

• Amintiți-vă că b este baza logaritmului. Această valoare trebuie să îndeplinească următoarele condiții:

  • b> 0
  • b nu este egal cu 1
• În ecuație, y este exponentul, iar x este rezultatul calculării exponențialei căutate în logaritm.

Pasul 2. Luați în considerare ecuația logaritmică

Când priviți ecuația problemei, căutați baza (b), exponentul (y) și exponențialul (x).

• Exemplu:

  5 = jurnal₄(1024)

  • b = 4
  • y = 5
  • x = 1024

Pasul 3. Mutați exponențialul pe o parte a ecuației

Mutați valoarea exponențierii dvs., x, pe o parte a semnului egal.

• De exemplu:

  1024 = ?

Pasul 4. Introduceți valoarea exponentului la baza acestuia

Valoarea dvs. de bază, b, trebuie să fie înmulțită cu același număr de valori reprezentat de exponentul y.

• Exemplu:

  4 * 4 * 4 * 4 * 4 = ?

  Această ecuație poate fi scrisă și ca: 4⁵

Pasul 5. Rescrieți răspunsul final

Acum ar trebui să puteți rescrie ecuația logaritmică ca o ecuație exponențială. Verificați din nou răspunsul, asigurându-vă că ambele părți ale ecuației au aceeași valoare.

• Exemplu:

  4⁵ = 1024

Metoda 1 din 3: Găsirea valorii lui X

Pasul 1. Împarte ecuația logaritmică

Efectuați un calcul invers pentru a muta partea de ecuație care nu este o ecuație logaritmică pe cealaltă parte.

• Exemplu:

  Buturuga₃(x + 5) + 6 = 10

  • Buturuga₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
  • Buturuga₃(x + 5) = 4

Pasul 2. Rescrieți această ecuație în formă exponențială

Folosiți ceea ce știți deja despre relația dintre ecuațiile logaritmice și ecuațiile exponențiale și rescrieți-le într-o formă exponențială mai simplă și mai ușor de rezolvat.

• Exemplu:

  Buturuga₃(x + 5) = 4

  • Comparați această ecuație cu definiția lui [ y = jurnal_b (X)], atunci puteți concluziona că: y = 4; b = 3; x = x + 5
  • Rescrieți ecuația astfel: b^y = x
  • 3⁴ = x + 5

Pasul 3. Găsiți valoarea lui x

Odată ce această problemă a fost simplificată la o ecuație exponențială de bază, ar trebui să o puteți rezolva la fel ca orice altă ecuație exponențială.

• Exemplu:

  3⁴ = x + 5

  • 3 * 3 * 3 * 3 = x + 5
  • 81 = x + 5
  • 81 - 5 = x + 5 - 5
  • 76 = x

Pasul 4. Notați-vă răspunsul final

Răspunsul final pe care îl obțineți când găsiți valoarea lui x este răspunsul la problema logaritmului original.

• Exemplu:

  x = 76

Metoda 2 din 3: Găsirea valorii lui X utilizând regula de adăugare logaritmică

Pasul 1. Înțelegeți regulile pentru adăugarea logaritmilor

Prima proprietate a logaritmilor cunoscută sub numele de „regula de adăugare logaritmică” afirmă că logaritmul unui produs este egal cu suma logaritmilor celor două valori. Scrieți această regulă sub formă de ecuație:

• Buturuga_b(m * n) = log_b(m) + jurnal_b(n)

• Rețineți că trebuie să se aplice următoarele:

  • m> 0
  • n> 0

Pasul 2. Împarte logaritmul pe o parte a ecuației

Utilizați calcule inverse pentru a muta părți ale ecuației, astfel încât întreaga ecuație logaritmică să se afle pe o parte, în timp ce celelalte componente sunt pe cealaltă parte.

• Exemplu:

  Buturuga₄(x + 6) = 2 - log₄(X)

  • Buturuga₄(x + 6) + jurnal₄(x) = 2 - jurnal₄(x) + jurnal₄(X)
  • Buturuga₄(x + 6) + jurnal₄(x) = 2

Pasul 3. Aplicați regula de adăugare logaritmică

Dacă există două logaritmi care se adună într-o ecuație, puteți utiliza regula logaritmului pentru a le pune împreună.

• Exemplu:

  Buturuga₄(x + 6) + jurnal₄(x) = 2

  • Buturuga₄[(x + 6) * x] = 2
  • Buturuga₄(X² + 6x) = 2

Pasul 4. Rescrieți această ecuație în formă exponențială

Amintiți-vă că logaritmii sunt doar un alt mod de a scrie ecuații exponențiale. Utilizați definiția logaritmică pentru a rescrie ecuația într-o formă care poate fi rezolvată.

• Exemplu:

  Buturuga₄(X² + 6x) = 2

  • Comparați această ecuație cu definiția lui [ y = jurnal_b (X)], puteți concluziona că: y = 2; b = 4; x = x² + 6x
  • Rescrieți această ecuație astfel încât: b^y = x
  • 4² = x² + 6x

Pasul 5. Găsiți valoarea lui x

Odată ce această ecuație s-a transformat într-o ecuație exponențială regulată, folosiți ceea ce știți despre ecuațiile exponențiale pentru a găsi valoarea lui x așa cum ați face în mod normal.

• Exemplu:

  4² = x² + 6x

  • 4 * 4 = x² + 6x
  • 16 = x² + 6x
  • 16 - 16 = x² + 6x - 16
  • 0 = x² + 6x - 16
  • 0 = (x - 2) * (x + 8)
  • x = 2; x = -8

Pasul 6. Notați-vă răspunsurile

În acest moment, ar trebui să aveți răspunsul la ecuație. Scrieți răspunsul în spațiul prevăzut.

• Exemplu:

  x = 2

• Rețineți că nu puteți da un răspuns negativ pentru logaritm, deci puteți scăpa de răspuns x - 8.

Metoda 3 din 3: Găsirea valorii lui X folosind regula de divizare logaritmică

Pasul 1. Înțelegeți regula diviziunii logaritmice

Pe baza celei de-a doua proprietăți a logaritmilor, cunoscută sub numele de „regula diviziunii logaritmice”, logaritmul unei diviziuni poate fi rescris prin scăderea logaritmului numitorului de la numărător. Scrieți această ecuație după cum urmează:

• Buturuga_b(m / n) = jurnal_b(m) - jurnal_b(n)

• Rețineți că trebuie să se aplice următoarele:

  • m> 0
  • n> 0

Pasul 2. Împarte ecuația logaritmică pe o parte

Înainte de a rezolva ecuațiile logaritmice, trebuie să transferați toate ecuațiile logaritmice pe o parte a semnului egal. Cealaltă jumătate a ecuației trebuie mutată în cealaltă parte. Folosiți calcule inverse pentru a o rezolva.

• Exemplu:

  Buturuga₃(x + 6) = 2 + log₃(x - 2)

  • Buturuga₃(x + 6) - jurnal₃(x - 2) = 2 + log₃(x - 2) - jurnal₃(x - 2)
  • Buturuga₃(x + 6) - jurnal₃(x - 2) = 2

Pasul 3. Aplicați regula diviziunii logaritmice

Dacă există două logaritmi într-o ecuație și unul dintre ele trebuie scăzut din celălalt, puteți și ar trebui să utilizați regula divizării pentru a aduce împreună aceste două logaritmi.

• Exemplu:

  Buturuga₃(x + 6) - jurnal₃(x - 2) = 2

  Buturuga₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

Pasul 4. Scrieți această ecuație în formă exponențială

După ce rămâne o singură ecuație logaritmică, utilizați definiția logaritmică pentru a o scrie în formă exponențială, eliminând jurnalul.

• Exemplu:

  Buturuga₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

  • Comparați această ecuație cu definiția lui [ y = jurnal_b (X)], puteți concluziona că: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
  • Rescrieți ecuația astfel: b^y = x
  • 3² = (x + 6) / (x - 2)

Pasul 5. Găsiți valoarea lui x

Odată ce ecuația este exponențială, ar trebui să puteți găsi valoarea lui x așa cum ați face în mod normal.

• Exemplu:

  3² = (x + 6) / (x - 2)

  • 3 * 3 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 * (x - 2) = [(x + 6) / (x - 2)] * (x - 2)
  • 9x - 18 = x + 6
  • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
  • 8x = 24
  • 8x / 8 = 24/8
  • x = 3

Pasul 6. Notați-vă răspunsul final

Cercetează și verifică din nou pașii de calcul. Odată ce sunteți sigur că răspunsul este corect, scrieți-l.

• Exemplu:

  x = 3