Cum se completează pătratul (cu imagini)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-01-02 02:53

Completarea pătratelor este o tehnică utilă pentru a vă ajuta să puneți ecuațiile pătratice într-o formă îngrijită, ceea ce le face ușor de văzut sau chiar de rezolvat. Puteți completa pătrate pentru a construi formule pătratice mai complexe sau chiar pentru a rezolva ecuații pătratice. Dacă doriți să știți cum să o faceți, urmați acești pași.

Etapa

Partea 1 din 2: Conversia ecuațiilor ordinare în funcții quadratice

Pasul 1. Notați ecuația

Să presupunem că doriți să rezolvați următoarea ecuație: 3x² - 4x + 5.

Pasul 2. Scoateți coeficienții variabilelor pătratice din primele două părți

Pentru a scoate numărul 3 din primele două părți, scoateți numărul 3 și puneți-l în afara parantezelor, împărțind fiecare parte la 3. 3x² împărțit la 3 este x² și 4x împărțit la 3 este 4 / 3x. Deci, noua ecuație devine: 3 (x² - 4 / 3x) + 5. Numărul 5 rămâne în afara ecuației, deoarece nu este împărțit la numărul 3.

Pasul 3. Împarte a doua parte la 2 și pătrează-o

A doua parte sau ceea ce este cunoscut sub numele de ecuație este 4/3. Împarte la două. 4/3 2 sau 4/3 x 1/2 este egal cu 2/3. Acum, pătrat această secțiune prin pătratul numărătorului și numitorului fracției. (2/3)² = 4/9. Scrie pe hartie.

Pasul 4. Adună și scade aceste părți din ecuație

Veți avea nevoie de această parte suplimentară pentru a readuce ecuația la un pătrat perfect. Cu toate acestea, trebuie să le scădeți din restul ecuației pentru a le aduna. Deși, se pare că te întorci la ecuația ta originală. Ecuația dvs. arată astfel: 3 (x² - 4/3 x + 4/9 - 4/9) + 5.

Pasul 5. Scoateți partea pe care ați scăzut-o din paranteze

Deoarece aveți un coeficient de 3 în afara parantezelor, nu puteți scoate doar -4/9. Mai întâi trebuie să îl înmulțiți cu 3. -4/9 x 3 = -12/9 sau -4/3. Dacă aveți un coeficient de 1 în secțiunea x², atunci puteți sări peste acest pas.

Pasul 6. Schimbați partea dintre paranteze într-un pătrat perfect

Acum sunt 3 (x² -4 / 3x +4/9) între paranteze. Ați încercat deja să obțineți 4/9, care este de fapt un alt mod de a completa pătratul. Deci, îl puteți rescrie ca: 3 (x - 2/3)². Tot ce trebuie să faceți este să împărțiți a doua jumătate și să o eliminați pe a treia. Vă puteți verifica munca înmulțind-o și venind cu primele trei părți ale ecuației.

• 3 (x - 2/3)² =

  

• 3 (x - 2/3) (x -2/3) =
• 3 [(x² -2 / 3x -2 / 3x + 4/9)]
• 3 (x² - 4 / 3x + 4/9)

Pasul 7. Combinați constantele

Acum există două constante sau numere care nu au variabile. Acum, ai 3 (x - 2/3)² - 4/3 + 5. Tot ce trebuie să faceți este să adăugați -4/3 și 5 pentru a obține 11/3. Le adăugați echivalând numitorii: -4/3 și 15/3, apoi adunând numerele astfel încât să obțineți 11 și să lăsați numitorul 3.

• -4/3 + 15/3 = 11/3.

  

Pasul 8. Scrieți ecuația în formă pătratică

Ați făcut. Ecuația finală este 3 (x - 2/3)² +11/3. Puteți elimina coeficientul de 3 împărțind ambele părți ale ecuației pentru a obține (x - 2/3)² +11/9. Ați scris cu succes ecuația în formă pătratică, și anume a (x - h)² + k, unde k reprezintă o constantă.

Partea 2 din 2: Rezolvarea ecuațiilor pătratice

Pasul 1. Notați întrebările

Să presupunem că doriți să rezolvați următoarea ecuație: 3x² + 4x + 5 = 6

Pasul 2. Combinați constantele existente și plasați-le pe partea stângă a ecuației

O constantă este orice număr care nu are o variabilă. În această problemă, constanta este 5 în stânga și 6 în dreapta. Dacă doriți să vă deplasați 6 spre stânga, trebuie să scădeți ambele părți ale ecuației cu 6. Restul este 0 pe partea dreaptă (6-6) și -1 pe partea stângă (5-6). Ecuația devine: 3x² + 4x - 1 = 0.

Pasul 3. Se scoate coeficientul variabilei pătratice

În această problemă, 3 este coeficientul lui x². Pentru a obține numărul 3, scoateți numărul 3 și împărțiți fiecare parte la 3. Deci, de 3 ori² 3 = x², 4x 3 = 4 / 3x și 1 3 = 1/3. Ecuația devine: 3 (x² + 4 / 3x - 1/3) = 0.

Pasul 4. Împarte la constanta pe care tocmai ai extras-o

Aceasta înseamnă că puteți elimina coeficientul 3. Deoarece ați împărțit deja fiecare parte la 3, puteți elimina numărul 3 fără a afecta ecuația. Ecuația ta devine x² + 4 / 3x - 1/3 = 0

Pasul 5. Împarte a doua parte la 2 și pătrează-o

Apoi, luați a doua parte, 4/3 sau partea b și împărțiți-o la 2. 4/3 2 sau 4/3 x 1/2, egal cu 4/6 sau 2/3. Și 2/3 pătrat la 4/9. Odată ce l-ați pătrat, va trebui să-l scrieți pe partea stângă și dreapta a ecuației, deoarece adăugați o parte nouă. Trebuie să o scrieți de ambele părți pentru a o echilibra. Ecuația devine x² + 4/3 x + 2/3² - 1/3 = 2/3²

Pasul 6. Mutați constanta inițială în partea dreaptă a ecuației și adăugați-o în pătratul numărului dvs

Mutați constanta inițială, -1/3, spre dreapta, făcând-o 1/3. Adăugați pătratul numărului dvs., 4/9 sau 2/3². Găsiți un numitor comun pentru a adăuga 1/3 și 4/9 înmulțind fracțiile de sus și de jos de 1/3 cu 3. 1/3 x 3/3 = 3/9. Acum adăugați 3/9 și 4/9 pentru a obține 7/9 pe partea dreaptă a ecuației. Ecuația devine: x² + 4/3 x + 2/3² = 4/9 + 1/3 apoi x² + 4/3 x + 2/3² = 7/9.

Pasul 7. Notați partea stângă a ecuației ca un pătrat perfect

Deoarece ați folosit deja formula pentru a găsi piesa lipsă, partea dificilă a fost omisă. Tot ce trebuie să faceți este să puneți x și jumătate din valoarea celui de-al doilea coeficient între paranteze și să-l păstrați, de exemplu: (x + 2/3)². Rețineți că luarea în considerare a unui pătrat perfect va genera trei părți: x² + 4/3 x + 4/9. Ecuația devine: (x + 2/3)² = 7/9.

Pasul 8. Rădăcina pătrată a ambelor părți

În partea stângă a ecuației, rădăcina pătrată a (x + 2/3)² este x + 2/3. În partea dreaptă a ecuației, veți obține +/- (√7) / 3. Rădăcina pătrată a numitorului, 9, este 3, iar rădăcina pătrată a 7 este 7. Nu uitați să scrieți +/- deoarece rădăcina pătrată poate fi pozitivă sau negativă.

Pasul 9. Mutați variabilele

Pentru a muta variabila x, trebuie doar să mutați constanta 2/3 în partea dreaptă a ecuației. Acum, aveți două răspunsuri posibile pentru x: +/- (√7) / 3 - 2/3. Acestea sunt cele două răspunsuri. Puteți să o lăsați în pace sau să găsiți valoarea rădăcinii pătrate de 7 dacă trebuie să scrieți un răspuns fără rădăcină pătrată.

sfaturi

• Asigurați-vă că scrieți +/- în locul potrivit, altfel veți primi un singur răspuns.
• Chiar și după ce cunoașteți formula pătratică, exersați completarea pătratului în mod regulat, fie dovedind formula pătratică, fie rezolvând unele probleme. În acest fel, nu veți uita metoda atunci când veți avea nevoie de ea.