Viteza este definită ca viteza unui obiect într-o anumită direcție. În multe situații, pentru a găsi viteza, putem folosi ecuația v = s / t, unde v este egal cu viteza, s este egal cu distanța totală pe care obiectul a mutat-o de poziția sa inițială și t este egal cu timpul. Cu toate acestea, această metodă oferă doar viteza „medie” a obiectului peste deplasarea sa. Folosind calculul, puteți calcula viteza unui obiect în orice punct de-a lungul deplasării acestuia. Această valoare se numește „viteza instantanee” și poate fi calculată prin ecuație v = (ds) / (dt), sau, cu alte cuvinte, este derivatul ecuației pentru viteza medie a obiectului.
Etapa
Metoda 1 din 3: Calcularea vitezei instantanee
Pasul 1. Începeți cu ecuația pentru viteza de deplasare a obiectului
Pentru a obține valoarea vitezei instantanee a unui obiect, trebuie mai întâi să avem o ecuație care să descrie poziția acestuia (în termeni de deplasare) la un moment dat în timp. Aceasta înseamnă că ecuația trebuie să aibă o variabilă s (care stă singur) pe o parte și t pe de altă parte (dar nu neapărat independent), așa:
s = -1,5t2+ 10t + 4
-
În ecuație, variabilele sunt:
-
-
Deplasare = s. Aceasta este distanța parcursă de obiect de la punctul său de plecare. De exemplu, dacă un obiect călătorește 10 metri înainte și 7 metri înapoi, atunci distanța totală parcursă este de 10 - 7 = 3 metri (nu 10 + 7 = 17 metri).
-
Timp = t. Această variabilă se explică de la sine. De obicei exprimat în secunde. # Luați derivata ecuației. Derivata unei ecuații este o altă ecuație care poate da valoarea pantei dintr-un anumit punct. Pentru a găsi derivata formulei pentru deplasarea unui obiect, derivă funcția folosind următoarea regulă generală: Dacă y = a * x , Derivat = a * n * xn-1. Această regulă se aplică oricărei componente care se află pe partea „t” a ecuației.
Calculați viteza instantanee Pasul 2
-
-
- Cu alte cuvinte, începeți coborând partea "t" a ecuației de la stânga la dreapta. De fiecare dată când atingi valoarea „t”, scade 1 din valoarea exponentului și înmulțește întregul cu exponentul original. Orice constante (variabile care nu conțin „t”) se vor pierde deoarece sunt înmulțite cu 0. Acest proces nu este la fel de dificil pe cât s-ar putea crede, să derivăm ecuația din pasul de mai sus ca exemplu:
s = -1,5t2+ 10t + 4
(2) -1,5t(2-1)+ (1) 10t1 - 1 + (0) 4t0
-3t1 + 10t0
- 3t + 10
Pasul 2. Înlocuiți variabila „s” cu „ds / dt
„Pentru a arăta că noua dvs. ecuație este derivata ecuației anterioare, înlocuiți„ s”cu„ ds / dt”. Din punct de vedere tehnic, această notație înseamnă„ derivată a lui s față de t.”Un mod mai simplu de a înțelege acest lucru este că ds / dt este valoarea pantei (panta) în orice punct din prima ecuație, de exemplu, pentru a determina panta unei linii trasate din ecuația s = -1,5t2 + 10t + 4 la t = 5, putem introduce valoarea „5” în ecuația derivatei.
- În exemplul folosit, prima ecuație derivată ar arăta astfel:
ds / sec = -3t + 10
Pasul 3. Conectați valoarea t în noua ecuație pentru a obține valoarea vitezei instantanee
Acum că aveți ecuația derivată, este ușor să găsiți viteza instantanee în orice punct. Tot ce trebuie să faceți este să alegeți o valoare pentru t și să o conectați la ecuația dvs. derivată. De exemplu, dacă doriți să găsiți viteza instantanee la t = 5, puteți înlocui valoarea lui t cu „5” în ecuația derivată ds / dt = -3 + 10. Apoi rezolvați ecuația astfel:
ds / sec = -3t + 10
ds / sec = -3 (5) + 10
ds / sec = -15 + 10 = - 5 metri / secundă
Rețineți că unitatea utilizată mai sus este „metru / secundă”. Deoarece ceea ce calculăm este deplasarea în metri și timpul în secunde (secunde), iar viteza în general este deplasarea într-un anumit timp, această unitate este adecvată de utilizat
Metoda 2 din 3: Estimarea grafică a vitezei instantanee
Pasul 1. Desenați un grafic al deplasării obiectului în timp
În secțiunea de mai sus, derivata este menționată ca formulă pentru găsirea pantei într-un punct dat pentru ecuația pe care o derivați. De fapt, dacă reprezentați deplasarea unui obiect ca o linie pe un grafic, „panta liniei în toate punctele este egală cu valoarea vitezei sale instantanee în acel punct”.
- Pentru a descrie deplasarea unui obiect, utilizați x pentru a reprezenta timpul și y pentru a reprezenta deplasarea. Apoi desenați punctele, conectând valoarea lui t în ecuația dvs., obținând astfel valoarea lui s pentru graficul dvs., marcați t, s în grafic ca (x, y).
- Rețineți că graficul dvs. se poate întinde sub axa x. Dacă linia care reprezintă mișcarea obiectului dvs. ajunge sub axa x, înseamnă că obiectul s-a deplasat înapoi din poziția sa inițială. În general, graficul dvs. nu va atinge partea din spate a axei y - pentru că nu măsurăm viteza unui obiect care se mișcă în trecut!
Pasul 2. Selectați un punct adiacent P și Q în linie
Pentru a obține panta liniei într-un punct P, putem folosi un truc numit „luând limita”. Luarea limitei implică două puncte (P și Q, un punct din apropiere) pe linia curbată și găsirea pantei liniei conectându-le de multe ori până când distanțele P și Q se apropie.
Să presupunem că linia de deplasare a obiectului conține valorile (1, 3) și (4, 7). În acest caz, dacă vrem să găsim panta în punctul (1, 3), putem determina (1, 3) = P și (4, 7) = Q.
Pasul 3. Găsiți panta dintre P și Q
Panta dintre P și Q este diferența dintre valorile y pentru P și Q de-a lungul diferenței dintre valoarea axei x pentru P și Q. Cu alte cuvinte, H = (yÎ - daP)/(XÎ - XP), unde H este panta dintre cele două puncte. În exemplul nostru, valoarea pantei dintre P și Q este
H = (yÎ- daP)/(XÎ- XP)
H = (7 - 3) / (4 - 1)
H = (4) / (3) = 1.33
Pasul 4. Repetați de mai multe ori, apropiindu-vă de Q de P
Scopul tău este să reduci distanța dintre P și Q pentru a semăna cu un punct. Cu cât distanța dintre P și Q este mai apropiată, cu atât panta liniei este mai aproape de punctul P. Faceți acest lucru de mai multe ori cu ecuația utilizată ca exemplu, folosind punctele (2, 4.8), (1.5, 3.95) și (1.25, 3.49) ca Q și punctul de plecare (1, 3) ca P:
Q = (2, 4,8):
H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
H = (1,8) / (1) = 1.8
Q = (1,5, 3,95):
H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
H = (.95) / (. 5) = 1.9
Q = (1,25, 3,49):
H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
H = (.49) / (. 25) = 1.96
Pasul 5. Estimați panta liniei pentru o distanță foarte mică
Pe măsură ce Q se apropie de P, H se apropie din ce în ce mai mult de valoarea pantei punctului P. În cele din urmă, când atinge o valoare foarte mică, H este egal cu panta lui P. Deoarece nu putem măsura sau calcula distanțe foarte mici, putem estima panta pe P numai după ce este clar din punctul pe care îl încercăm.
- În exemplu, pe măsură ce apropiem Q de P, obținem valori de 1,8, 1,9 și 1,96 pentru H. Deoarece aceste numere sunt apropiate de 2, putem spune că 2 este panta aproximativă a lui P.
- Amintiți-vă că panta la orice punct dat al liniei este egală cu derivata ecuației liniei. Deoarece linia utilizată arată deplasarea unui obiect în timp și pentru că așa cum am văzut în secțiunea anterioară, viteza instantanee a unui obiect este derivata deplasării acestuia într-un punct dat, putem afirma, de asemenea, că „2 metri / secundă "este valoarea aproximativă a vitezei instantanee la t = 1.
Metoda 3 din 3: Exemple de întrebări
Pasul 1. Găsiți valoarea vitezei instantanee la t = 4, din ecuația de deplasare s = 5t3 - 3t2 + 2t + 9.
Această problemă este aceeași cu exemplul din prima parte, cu excepția faptului că această ecuație este o ecuație de cub, nu o ecuație de putere, deci putem rezolva această problemă în același mod.
- În primul rând, luăm derivata ecuației:
- Apoi, introduceți valoarea lui t (4):
s = 5t3- 3t2+ 2t + 9
s = (3) 5t(3 - 1) - (2) 3t(2 - 1) + (1) 2t(1 - 1) + (0) 9t0 - 1
15t(2) - 6t(1) + 2t(0)
15t(2) - 6t + 2
s = 15t(2)- 6t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 metri / secundă
Pasul 2. Folosiți o estimare grafică pentru a găsi viteza instantanee la (1, 3) pentru ecuația de deplasare s = 4t2 - t.
Pentru această problemă, vom folosi (1, 3) ca punct P, dar trebuie să definim un alt punct adiacent punctului respectiv ca punctul Q. Atunci trebuie doar să determinăm valoarea lui H și să facem o estimare.
- Mai întâi, găsiți valoarea lui Q mai întâi la t = 2, 1,5, 1,1 și 1,01.
- Apoi, determinați valoarea lui H:
- Deoarece valoarea lui H este foarte apropiată de 7, putem afirma că 7 metri / secundăeste viteza instantanee aproximativă la (1, 3).
s = 4t2- t
t = 2:
s = 4 (2)2- (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, deci Q = (2, 14)
t = 1,5:
s = 4 (1,5)2 - (1.5)
4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, deci Q = (1,5, 7,5)
t = 1.1:
s = 4 (1.1)2 - (1.1)
4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, deci Q = (1.1, 3.74)
t = 1,01:
s = 4 (1,01)2 - (1.01)
4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, deci Q = (1,01, 3,0704)
Q = (2, 14):
H = (14 - 3) / (2 - 1)
H = (11) / (1) =
Pasul 11.
Q = (1,5, 7,5):
H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
H = (4,5) / (. 5) =
Pasul 9.
Q = (1.1, 3.74):
H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
H = (.74) / (. 1) = 7.3
Q = (1,01, 3,0704):
H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
H = (.0704) / (. 01) = 7.04
sfaturi
- Pentru a găsi valoarea accelerației (schimbarea vitezei în timp), utilizați metoda din prima secțiune pentru a obține ecuația pentru derivata funcției de deplasare. Apoi creați din nou ecuația derivată, de data aceasta din ecuația dvs. derivată. Acest lucru vă va oferi ecuația pentru a găsi accelerația la un moment dat, tot ce trebuie să faceți este să introduceți valoarea timpului.
- Ecuația care leagă valoarea lui Y (deplasare) de X (timp) poate fi foarte simplă, de exemplu Y = 6x + 3. În acest caz, valoarea pantei este constantă și nu este necesar să se găsească derivata pentru a o calcula, unde conform ecuației unei drepte, Y = mx + b va fi egal cu 6.
- Deplasarea este similară cu distanța, dar are o direcție, deci deplasarea este o mărime vectorială, în timp ce distanța este o mărime scalară. Valoarea deplasării poate fi negativă, dar distanța va fi întotdeauna pozitivă.
