Distanța, de multe ori dată de variabila „s”, este o măsurare a spațiului care este o linie dreaptă între două puncte. Distanța se poate referi la spațiul dintre două puncte imobile (de exemplu, înălțimea unei persoane este distanța de la baza picioarelor până la vârful capului) sau se poate referi la spațiul dintre poziția actuală a unui obiect în mișcare și locația inițială în care obiectul a început să se miște. Majoritatea problemelor la distanță pot fi rezolvate prin ecuație s = v × t, unde s este distanța, v este viteza medie și t este timpul sau folosind s = ((x2 - X1)2 + (y2 - da1)2), unde (x1, y1) și (x2, y2) sunt coordonatele x și y ale celor două puncte.
Etapa
Metoda 1 din 2: calcularea distanței cu viteza și timpul mediu
Pasul 1. Găsiți valorile medii ale vitezei și timpului
Când încercați să calculați distanța parcursă de un obiect în mișcare, există două informații care sunt importante pentru acest calcul: viteză (sau viteza) și timp că obiectul în mișcare a călătorit. Cu aceste informații, este posibil să se calculeze distanța parcursă de obiect folosind formula s = v × t.
Pentru a înțelege mai bine procesul de utilizare a formulei distanței, să rezolvăm un exemplu de problemă din această secțiune. Să presupunem că călătorim pe un drum cu 120 de mile pe oră (aproximativ 193 km pe oră) și vrem să știm cât de departe vom fi parcurs într-o jumătate de oră. Utilizare 120 de mile pe oră ca valoare a vitezei medii și 0,5 ore ca valoare a timpului, vom rezolva această problemă în pasul următor.
Pasul 2. Înmulțiți viteza medie cu timpul
După cunoașterea vitezei medii a unui obiect în mișcare și a timpului parcurs, calcularea distanței parcurse este relativ ușoară. Doar înmulțiți cele două valori pentru a găsi răspunsul.
- Cu toate acestea, rețineți că, dacă unitatea de timp utilizată în valoarea medie a vitezei este diferită de cea utilizată în valoarea timpului, va trebui să schimbați una pentru a se potrivi. De exemplu, dacă am avea o valoare medie a vitezei măsurată în km pe oră și o valoare a timpului măsurată în minute, ar trebui să împărțiți valoarea timpului la 60 pentru ao converti în ore.
- Să terminăm exemplul nostru de problemă. 120 mile / oră × 0,5 ore = 60 mile. Rețineți că unitățile din valoarea timpului (ore) omit numitorul vitezei medii (ore) lăsând doar unitățile de distanță (mile).
Pasul 3. Schimbați ecuația pentru a calcula o altă variabilă
Simplitatea ecuației de distanță de bază (s = v × t) face ușoară utilizarea ecuației pentru a găsi valoarea unei alte variabile decât distanța. Trebuie doar să izolați variabila pe care doriți să o găsiți conform regulilor de bază ale algebrei, apoi introduceți valorile celorlalte două variabile pentru a găsi valoarea celei de-a treia variabile. Cu alte cuvinte, pentru a calcula viteza medie a obiectului, utilizați ecuația v = s / t și pentru a calcula timpul scurs de obiect, utilizați ecuația t = s / v.
- De exemplu, să presupunem că știm că o mașină a parcurs 60 de mile în 50 de minute, dar nu avem o valoare pentru viteza medie pe măsură ce obiectul se mișcă. În acest caz, putem izola variabila v în ecuația distanței de bază pentru a obține v = d / t, apoi împărțim doar 60 mile / 50 minute pentru a obține răspunsul 1,2 mile / minut.
- Rețineți că în exemplu, răspunsul pentru viteză are o unitate neobișnuită (mile / minut). Pentru a obține un răspuns în mile / oră mai frecvente, înmulțiți cu 60 de minute / oră pentru a obține rezultatul 72 mile / oră.
Pasul 4. Rețineți că variabila „v” din formula distanței se referă la viteza medie
Este important să înțelegem că formula de bază a distanței oferă o vedere simplificată a mișcării unui obiect. Formula distanței presupune că un obiect în mișcare are o viteză constantă - cu alte cuvinte, presupune că un obiect în mișcare are o viteză unică, neschimbată. Pentru probleme abstracte de matematică, cum ar fi cele pe care le puteți întâlni într-un cadru academic, uneori este încă posibil să modelați mișcarea unui obiect folosind această presupunere. Cu toate acestea, în viața reală, aceste exemple adesea nu reflectă cu exactitate mișcarea obiectelor în mișcare, care de fapt pot accelera, încetini, opri și inversa în timp.
- De exemplu, în exemplul de mai sus, am ajuns la concluzia că, pentru a parcurge 60 de mile în 50 de minute, ar trebui să călătorim cu 72 de mile pe oră. Cu toate acestea, acest lucru este valabil numai dacă călătoriți cu o viteză pe parcursul întregii călătorii. De exemplu, călătorind cu 80 mile / oră pentru jumătate din călătorie și 64 mile / oră pentru jumătatea rămasă, vom parcurge în continuare 60 mile în 50 minute - 72 mile / oră = 60 mile / 50 minute = ?????
- Soluțiile bazate pe calcul care utilizează derivate sunt adesea o alegere mai bună decât formulele de distanță pentru definirea vitezei unui obiect în situații reale, deoarece sunt posibile schimbări de viteză.
Metoda 2 din 2: Calcularea distanței dintre două puncte
Pasul 1. Găsiți cele două coordonate spațiale ale celor două puncte
Ce se întâmplă dacă, în loc să calculați distanța parcursă de un obiect în mișcare, trebuie să calculați distanța dintre două obiecte imobile? Într-un astfel de caz, formula distanței bazată pe viteză descrisă mai sus nu va funcționa. Din fericire, pot fi folosite diferite formule de distanță pentru a calcula cu ușurință distanța dintre două puncte. Cu toate acestea, pentru a utiliza această formulă, va trebui să cunoașteți coordonatele celor două puncte. Dacă se tratează distanțe unidimensionale (ca pe o linie numerică), coordonatele vor consta din două numere, x1 și x2. Dacă gestionați distanțe în două dimensiuni, veți avea nevoie de două valori (x, y), (x1, y1) și (x2, y2). În cele din urmă, pentru trei dimensiuni, veți avea nevoie de valoarea (x1, y1, z1) și (x2, y2, z2).
Pasul 2. Calculați distanța unidimensională scăzând valorile coordonatelor a două puncte
Calculul distanței unidimensionale dintre două puncte atunci când știți deja valoarea fiecărui punct este ușor. Folosiți doar formula s = | x2 - X1|. În această formulă, scadeți x1 din x2, apoi luați valoarea absolută a răspunsului dvs. pentru a găsi distanța dintre x1 și x2. De obicei, veți dori să utilizați formula distanței unidimensionale atunci când cele două puncte sunt pe o linie sau pe o axă numerică.
- Rețineți că această formulă utilizează valori absolute (simbolul " | |"). Valoarea absolută înseamnă că valoarea din interiorul simbolului devine pozitivă dacă este negativă.
-
De exemplu, să presupunem că ne oprim la marginea drumului pe o autostradă perfect dreaptă. Dacă există un oraș la 5 mile în fața noastră și un alt oraș la 1 mile în spatele nostru, cât de departe sunt cele două orașe? Dacă stabilim orașul 1 ca x1 = 5 și orașul 2 ca x1 = -1, putem calcula s, distanța dintre cele două orașe, în felul următor:
- s = | x2 - X1|
- = |-1 - 5|
- = |-6| = 6 mile.
Pasul 3. Calculați distanța bidimensională folosind teorema lui Pitagora
Calculul distanței dintre două puncte în spațiul bidimensional este mai complicat decât în unidimensional, dar nu este dificil. Folosiți doar formula s = ((x2 - X1)2 + (y2 - da1)2). În această formulă, scădeți cele două coordonate x, calculați rădăcina pătrată, scădeți cele două coordonate y, calculați rădăcina pătrată, apoi adăugați cele două rezultate împreună și calculați rădăcina pătrată pentru a găsi distanța dintre cele două puncte. Această formulă se aplică unui plan bidimensional - de exemplu, pe un grafic regulat x / y.
- Formula distanței bidimensionale folosește teorema lui Pitagora, care afirmă că lungimea ipotenuzei triunghiului din dreapta este egală cu rădăcina pătrată a pătratului de pe celelalte două laturi.
- De exemplu, să presupunem că avem două puncte în planul x-y: (3, -10) și (11, 7), care reprezintă centrul unui cerc și, respectiv, un punct pe cerc. Pentru a găsi distanța dintre două puncte, o putem calcula în felul următor:
- s = ((x2 - X1)2 + (y2 - da1)2)
- s = ((11 - 3)2 + (7 - -10)2)
- s = (64 + 289)
- s = (353) = 18, 79
Pasul 4. Calculați distanța tridimensională modificând formula distanței bidimensionale
În trei dimensiuni, punctele au coordonate z în plus față de coordonatele x și y. Pentru a calcula distanța dintre două puncte în spațiul tridimensional, utilizați s = ((x2 - X1)2 + (y2 - da1)2 + (z2 - z1)2). Aceasta este o formă modificată a formulei de distanță bidimensională descrisă mai sus, care include coordonata z. Scăderea celor două coordonate z, calcularea rădăcinii pătrate și continuarea cu restul formulei asigură că răspunsul final va reprezenta distanța tridimensională dintre cele două puncte.
- De exemplu, să presupunem că suntem astronauți care plutesc în spațiu între doi asteroizi. Un asteroid este la aproximativ 8 km înainte, la 2 km la dreapta și la 5 km sub noi, în timp ce celălalt este la aproximativ 3 km în spate, la 3 km la stânga și la 4 km deasupra noastră. Dacă reprezentăm pozițiile celor doi asteroizi cu coordonatele (8, 2, -5) și (-3, -3, 4), putem calcula distanța dintre ele în felul următor:
- s = ((-3 - 8)2 + (-3 - 2)2 + (4 - -5)2)
- s = ((-11)2 + (-5)2 + (9)2)
- s = (121 + 25 + 81)
- s = (227) = 15, 07 km
