Cum să desenați un grafic pătrat: 10 pași (cu imagini)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-02-01 14:15

Când este reprezentată grafic, ecuația pătratică este de formă topor² + bx + c sau a (x - h)² + k formează litera U sau o curbă U inversată numită parabolă. Graficarea unei ecuații pătratice caută vârful, direcția și adesea intersecția x și y. În cazurile de ecuații pătratice destul de simple, introducerea unui set de valori x și reprezentarea curbei pe baza punctelor rezultate poate fi suficientă. Consultați Pasul 1 de mai jos pentru a începe.

Etapa

Pasul 1. Determinați forma ecuației pătratice pe care o aveți

Ecuațiile pătratice pot fi scrise în trei forme diferite: forma generală, forma vârfului și forma pătratică. Puteți utiliza orice formă pentru a grafica o ecuație pătratică; procesul de reprezentare a fiecărui grafic este ușor diferit. Dacă faceți temele, de obicei veți primi întrebări într-una din aceste două forme - cu alte cuvinte, nu veți putea alege, deci este mai bine să le înțelegeți pe amândouă. Cele două forme ale ecuației pătratice sunt:

• Forma generală.

  În această formă, ecuația pătratică este scrisă ca: f (x) = ax² + bx + c unde a, b și c sunt numere reale și a nu este zero.

  De exemplu, două ecuații pătratice de formă generală sunt f (x) = x² + 2x + 1 și f (x) = 9x² + 10x -8.

• Forma vârfului.

  În această formă, ecuația pătratică este scrisă astfel: f (x) = a (x - h)² + k unde a, h și k sunt numere reale și a nu este zero. Se numește formă de vârf, deoarece h și k vor da imediat vârful (punctul mediu) al parabolei dvs. în punctul (h, k).

  Cele două ecuații ale vârfului sunt f (x) = 9 (x - 4)² + 18 și -3 (x - 5)² + 1

• Pentru a grafica orice tip de ecuație, trebuie mai întâi să găsim vârful parabolei, care este punctul de mijloc (h, k) la sfârșitul curbei. Coordonatele vârfurilor în forma generală sunt calculate ca: h = -b / 2a și k = f (h), în timp ce în forma vârfului, h și k sunt în ecuație.

Pasul 2. Definiți variabilele

Pentru a rezolva o problemă pătratică, variabilele a, b și c (sau a, h și k) trebuie definite de obicei. O problemă obișnuită de algebră va da o ecuație pătratică cu variabilele disponibile, de obicei în formă generală, dar uneori în formă de vârf.

• De exemplu, pentru o ecuație de formă generală f (x) = 2x² + 16x + 39, avem a = 2, b = 16 și c = 39.
• Pentru forma ecuației vârfului f (x) = 4 (x - 5)² + 12, avem a = 4, h = 5 și k = 12.

Pasul 3. Calculați h

În ecuația formului de vârf, valoarea dvs. h este deja dată, dar în ecuația formei generale, valoarea h trebuie calculată. Amintiți-vă că, pentru ecuațiile de formă generală, h = -b / 2a.

• În exemplul nostru general (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). După rezolvare, constatăm că h = - 4.
• În exemplul nostru de vârf (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), știm că h = 5 fără a face nicio matematică.

Pasul 4. Calculați k

La fel ca h, k este deja cunoscut în ecuația formei de vârf. Pentru ecuațiile de formă generală, amintiți-vă că k = f (h). Cu alte cuvinte, puteți găsi k înlocuind toate valorile x din ecuația dvs. cu valorile h pe care tocmai le-ați găsit.

• Am stabilit deja în exemplul nostru general că h = -4. Pentru a găsi k, ne rezolvăm ecuația conectând valoarea noastră în locul lui x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Pasul 7.

• În exemplul nostru de vârf, din nou, cunoaștem valoarea lui k (care este 12) fără a fi nevoie să facem matematică.

Pasul 5. Desenați-vă vârful

Vârful parabolei dvs. este punctul (h, k) - h reprezintă coordonata x, în timp ce k reprezintă coordonata y. Vârful este punctul de mijloc al parabolei dvs. - fie în partea de jos a U, fie în partea de sus a U inversat. Cunoașterea vârfurilor este o parte importantă a trasării unei parabole precise - de multe ori, în sarcinile școlare, determinarea vârfului este partea care trebuie căutată într-o întrebare.

• În exemplul nostru general de formă, vârful nostru este (-4, 7). Astfel, parabola noastră va culmina 4 pași spre stânga de la 0 și 7 pași deasupra (0, 0). Trebuie să prezentăm acest punct în graficul nostru, asigurându-ne că marcăm coordonatele.
• În exemplul nostru de formă de vârf, vârful nostru este (5, 12). Trebuie să trasăm un punct 5 pași spre dreapta și 12 pași deasupra (0, 0).

Pasul 6. Desenați axa parabolei (opțional)

Axa de simetrie a unei parabole este o linie care trece prin centrul ei, împărțind-o exact în mijloc. Pe această axă, partea stângă a parabolei va reflecta partea dreaptă. Pentru ecuațiile pătratice în forma ax² + bx + c sau a (x - h)² + k, axa de simetrie este linia care este paralelă cu axa y (cu alte cuvinte, exact verticală) și trece prin vârf.

În cazul exemplului de formă generală, axa este linia paralelă cu axa y și care trece prin punctul (-4, 7). Chiar dacă nu face parte din parabolă, marcarea subțire a acestei linii pe graficul dvs. vă va ajuta în cele din urmă să vedeți forma simetrică a curbei parabolei

Pasul 7. Găsiți direcția de deschidere a parabolei

După ce cunoaștem vârful și axa parabolei, trebuie să știm dacă parabola se deschide în sus sau în jos. Din fericire, acest lucru este ușor. Dacă valoarea lui a este pozitivă, parabola se va deschide în sus, în timp ce dacă valoarea lui a este negativă, parabola se va deschide în jos (adică parabola va fi inversată).

• Pentru exemplul nostru general de formă (f (x) = 2x² + 16x + 39), știm că avem o parabolă care se deschide deoarece, în ecuația noastră, a = 2 (pozitiv).
• Pentru exemplul nostru de formă de vârf (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), știm că avem și o parabolă care se deschide deoarece a = 4 (pozitiv).

Pasul 8. Dacă este necesar, găsiți și desenați interceptarea x

Adesea, în activitatea școlară, vi se va cere să găsiți interceptarea x în parabolă (care este unul sau două puncte în care parabola întâlnește axa x). Chiar dacă nu găsiți unul, aceste două puncte sunt foarte importante pentru a desena o parabolă precisă. Cu toate acestea, nu toate parabolele au o interceptare x. Dacă parabola dvs. are un vârf care se deschide și vârful său este deasupra axei x sau dacă se deschide în jos și vârful său este sub axa x, parabola nu va avea interceptare x. În caz contrar, rezolvați interceptarea x într-unul din următoarele moduri:

• Faceți doar f (x) = 0 și rezolvați ecuația. Această metodă poate fi utilizată pentru ecuații pătratice simple, în special sub formă de vârf, dar va fi foarte dificilă pentru ecuații complexe. Vedeți mai jos un exemplu

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Rădăcină (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 și 13 este interceptarea x din parabolă.

• Luați în calcul ecuația dvs. Unele ecuații în forma ax² + bx + c poate fi ușor inclus în forma (dx + e) (fx + g), unde dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx și e × g = c. În acest caz, interceptările dvs. x sunt valori x care vor face ca orice termen dintre paranteze = 0. De exemplu:

  • X² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • În acest caz, singura dvs. interceptare x este -1, deoarece făcând x egal -1 va face ca orice termen de factor din paranteză să fie egal cu 0.

• Folosiți formula pătratică. Dacă nu vă puteți rezolva cu ușurință interceptarea x sau puteți calcula ecuația, utilizați o ecuație specială numită o formulă pătratică care a fost creată în acest scop. Dacă nu este încă rezolvată, convertiți ecuația în forma ax² + bx + c, apoi introduceți a, b și c în formula x = (-b +/- sqrt (b)² - 4ac)) / 2a. Rețineți că această metodă vă oferă adesea două răspunsuri pentru valoarea lui x, care este OK - înseamnă doar că parabola dvs. are două interceptări x. Vedeți mai jos un exemplu:

  • -5x² + 1x + 10 este introdus în formula pătratică astfel:
  • x = (-1 +/- Rădăcină (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Rădăcină (1 + 200)) / - 10
  • x = (-1 +/- Root (201)) / - 10
  • x = (-1 +/- 14, 18) / - 10
  • x = (13, 18 / -10) și (-15, 18 / -10). Intercepția x din parabolă este x = - 1, 318 și 1, 518
  • Exemplul nostru anterior de formă generală, 2x² + 16x + 39 este introdus în formula pătratică după cum urmează:
  • x = (-16 +/- Rădăcină (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- Rădăcină (256 - 312)) / 4
  • x = (-16 +/- Rădăcină (-56) / - 10
  • Deoarece este imposibil să găsim rădăcina pătrată a unui număr negativ, știm că această parabolă nu are interceptare x.

Pasul 9. Dacă este necesar, găsiți și desenați interceptarea y

Deși de multe ori nu este necesar să căutați interceptarea y în ecuații (punctul în care parabola trece prin axa y), este posibil să fie necesar să o găsiți, mai ales dacă sunteți la școală. Procesul este destul de simplu - faceți doar x = 0, apoi rezolvați ecuația pentru f (x) sau y, care dă valoarea lui în cazul în care parabola dvs. trece prin axa y. Spre deosebire de interceptarea x, o parabolă obișnuită poate avea o singură interceptare y. Notă - pentru ecuațiile de formă generală, interceptarea y este la y = c.

• De exemplu, știm că ecuația noastră pătratică este 2x² + 16x + 39 are o interceptare y la y = 39, dar poate fi găsită și în felul următor:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Intercepția y a parabolei este la y = 39.

    După cum sa menționat mai sus, interceptarea y este la y = c.

• Forma ecuației vertexului nostru este 4 (x - 5)² + 12 are o interceptare y care poate fi găsită în felul următor:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Intercepția y a parabolei este la y = 112.

Pasul 10. Dacă este necesar, desenați puncte suplimentare, apoi desenați un grafic

Acum aveți vârful, direcția, interceptarea x și, eventual, interceptarea y în ecuația voastră. În această etapă, puteți încerca să vă desenați parabola folosind punctele pe care le aveți ca ghid sau să căutați alte puncte care să vă completeze parabola, astfel încât curba pe care o desenați să fie mai precisă. Cel mai simplu mod de a face acest lucru este să introduceți pur și simplu câteva valori x în orice parte a vârfului dvs., apoi să trasați aceste puncte folosind valorile y pe care le obțineți. Deseori, profesorii vă cer să căutați mai multe puncte înainte de a vă trage parabola.

• Să trecem în revistă ecuația x² + 2x + 1. Știm deja că interceptarea x este doar la x = -1. Deoarece curba atinge interceptarea x la un moment dat, putem concluziona că vârful este interceptarea sa x, ceea ce înseamnă că vârful este (-1, 0). De fapt, avem doar un punct pentru această parabolă - nu suficient pentru a desena o parabolă bună. Să căutăm alte puncte pentru a ne asigura că desenăm un grafic amănunțit.

  • Să găsim valorile y pentru următoarele valori x: 0, 1, -2 și -3.
  • Pentru 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Punctul nostru este (0, 1).

  • Pentru 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Punctul nostru este (1, 4).

  • Pentru -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Punctul nostru este (-2, 1).

  • Pentru -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Punctul nostru este (-3, 4).

  • Desenați aceste puncte pe grafic și desenați curba în formă de U. Rețineți că parabola este perfect simetrică - atunci când punctele dvs. de pe o parte a parabolei sunt întregi, puteți reduce de obicei munca de a reflecta pur și simplu un punct dat pe axa de simetrie a parabolei pentru a găsi același punct pe cealaltă parte a parabolei..

sfaturi

• Rotunjește numerele sau folosește fracțiile conform cererii profesorului tău de algebră. Acest lucru vă va ajuta să graficați mai bine ecuația pătratică.
• Rețineți că în f (x) = ax² + bx + c, dacă b sau c este egal cu zero, aceste numere vor dispărea. De exemplu, 12x² + 0x + 6 devine 12x² + 6 deoarece 0x este 0.